Derivate di funzioni in una variabile: esercizio 3.4 con commento audio

In questo esercizio si chiede di calcolare il limite per x che infinito di modulo di x elevato alla k e elevato x dove k naturale positivo o

Questo limite si presenta in una forma indeterminata, in particolare la forma infinito per zero in quanto modulo x la k da infinito e invece x tende a zero per x che tende infinito. Lo riscriviamo nella forma in forma di frazione, ovvero meno x tutto elevato k fratto e almeno x. Ricordiamo che x è infinito, quindi in particolare possiamo supporre sia negativo. Quindi il modulo di x è vero x.

Questo limite stavolta in forma indeterminata infinito, cioè infinito di segno imprecisato, per cui è possibile tentare di applicare il teorema di Pitagora. Quindi poniamo x con almeno x kg di x e almeno X facciamo un rapporto delle derivate il quale risulta k per x elevato alla k uno fratto e alla x che si presenta ancora in determinate. Cerchiamo di risolvere quest'ultimo limite ancora applicando il teorema di Pitagora, in quanto la probabilità di ottenere con infinito è infinito.

Calcoliamo quindi il rapporto delle derivate di questo rapporto, ovvero il rapporto delle derivate seconde delle due funzioni inizialmente date. Il quale abbassa di un grado ancora la potenza al numeratore è tariffaria sostanzialmente il segno. Il denominatore è naturale.

Adesso come proseguire? Si deriva. Si continua a derivare sopra e sotto fino a che il numeratore diventa una costante, quindi fino a che sia un'espressione del tipo C fratto x per qualche c appartenente a questo limite per x che termina il finito risulta essere zero in quanto per intervalli di l'Hopital applicato iterato n volte. In tale terminazione questo limite è uguale a zero.