_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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2' di lettura
Risolvi il seguente sistema di disequazioni:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
3x - 1 - 2x^2 ≤ 0&\
frac{x^2 - 6x + 5}{2 - x} > 0 &
end{array}\right.
[math][/math]

Svolgimento

Cominciamo dalla prima disequazione:

[math] 3x - 1 - 2x^2 ≤ 0 [/math]

Riordiniamo la disequazione e cambiamo segno, in modo da avere il coefficiente della x di secondo grado positivo:

[math] - 2x^2 + 3x - 1 ≤ 0 [/math]

[math] 2x^2 - 3x + 1 ≥ 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] 2x^2 - 3x + 1 = 0 [/math]

Troviamo le soluzioni con la formula

[math] x = frac(- b ± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]

[math] x = frac(- (-3) ± \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2})(2 \cdot 2) = frac(3 ± \sqrt(9 - 8))(4) = frac(3 ± 1)(4) =[/math]

[math] x = frac(3 + 1)(4) = 1 ∨ x = frac(3 - 1)(4) = 1/2 [/math]

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici, dato che la disequazione è maggiore o uguale a zero:

[math] S : x ≤ 1/2 ∨ ∨ x ≥ 1 [/math]

Risolviamo ora l'altra disequazione:

[math] frac(x^2 - 6x + 5)(2 - x) > 0 [/math]

[math] N > 0 \to x^2 - 6x + 5 > 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] x^2 - 6x + 5 = 0 [/math]

Troviamo le soluzioni con la formula

[math] x = frac(- b/2 ± \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]

[math] x = frac(- (-6)/2 ± \sqrt{((-6)/2)^2 - 5})(1) = 3 ± \sqrt(9 - 5) = [/math]

[math] 3 ± \sqrt{4} = 3 ± 2 \to [/math]

[math] x = 3 + 2 = 5 ∨ x = 3 - 2 = 1[/math]

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici, dato che la disequazione è maggiore o uguale a zero:

[math] S : x 5 [/math]

[math] D > 0 \to 2 - x > 0 [/math]

[math] - x > - 2 \to x

Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:

Considerando che la disequazione è maggiore di zero, le sue soluzioni saranno:

[math] S : x

Mettiamo a sistema le soluzioni trovate:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x ≤ 1/2 ∨ x ≥ 1&\
x end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni:

[math] S : x ≤ 1/2 ∨ 2
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