_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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1' di lettura
Risolvi il seguente sistema di disequazioni di secondo grado:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{(2x - 1)^2}{4} - x + 1 > frac{1}{4} &\
(x + 1)^2 + 2x > 1 &
end{array}\right.
[math][/math]

Svolgimento

Cominciamo risolvendo la prima disequazione:

[math] frac((2x - 1)^2)(4) - x + 1 > 1/4 [/math]

Svolgiamo il quadrato e calcoliamo il minimo comune multiplo.

[math] frac(4x^2 + 1 - 4x)(4) - x + 1 - 1/4 > 0[/math]

[math] frac(4x^2 + 1 - 4x - 4x + 4 - 1)(4) > 0[/math]

[math] frac(4x^2 - 8x + 4 )(4) > 0[/math]

Mettiamo in evidenza e semplifichiamo:

[math] frac(4 (x^2 - 2x + 1) )(4) > 0[/math]

[math] x^2 - 2x + 1 > 0 [/math]

Questo trinomio è il quadrato di un binomio:

[math] (x - 1) ^2 > 0 [/math]

Un quadrato è sempre positivo, ma in questo caso dobbiamo escludere il caso in cui esso sia nullo:

[math] (x - 1) ^2 > 0 ∀ x ∈ ℛ , x ≠ 1[/math]

Passiamo ora alla seconda disequazione:

[math] (x + 1)^2 + 2x > 1 [/math]

Svolgiamo il quadrato:

[math] x^2 + 1 + 2x + 2x - 1 > 0 [/math]

[math] x^2 + 4x > 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata e troviamo le soluzioni mediante la legge dell'annullamento del prodotto:

[math] x^2 + 4x = 0 [/math]

[math] x ( x + 4) = 0 [/math]

[math] x + 4 = 0 \to x = - 4 [/math]

[math] x = 0 [/math]

Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell'equazione associata:

[math] S : x 0 [/math]

Torniamo al sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
∀ x ∈ ℛ , x ≠ 1 &\
x 0 &
end{array}\right.
[math][/math]

Troviamo le soluzioni:

[math] S : x 0 ∧ x ≠ 1 [/math]
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