Come risolvere le equazioni esponenziali e logaritmiche

In quest'appunto troverai la descrizione dettagliata dei passaggi per risolvere le equazioni esponenziali e le equazioni logaritmiche, con una breve introduzione sulle funzioni di riferimento.

Cos'è la funzione esponenziale e cos'è la funzione logaritmica

Prima di approfondire le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche è necessario fare una ricapitolazione sui logaritmi, ossia l'operatore su cui si basano le seconde.
Il logaritmo di un numero non è altro che l'esponente da imporre alla base per ottenere un valore, chiamato argomento. Dal punto di vista matematico, il logaritmo si presenta come dove è l'esponente precedentemente citato e quindi il valore del logaritmo, è la base del logaritmo e è l'argomento, ossia il valore che si vuole ottenere dalla potenza.

Essendo un operatore, anche i logaritmi godono di alcune proprietà. Conoscerle è importante in quanto consentono di semplificare e velocizzare lo svolgimento di espressioni ed equazioni. Esse sono:

• il logaritmo di un prodotto, che è pari alla somma dei logaritmi aventi come argomento i fattori del prodotto ossia
  [math]log_a(b\cdot c)=log_a(b)+log_b(c)[/math]
• la legge dell'esponente all'argomento, per cui se sull'argomento è presente all'esponente esso può essere riscritto come fattore dell'intero logaritmo. In termini matematici
  [math]log_a(b^c)=clog_a(b)[/math]
• il logaritmo del rapporto, che è pari alla differenza dei logaritmi aventi come argomento numeratore e denominatore di tale rapporto, cioè
  [math]log_a(\frac{b}{c})=log_a(b)-log_a(c)[/math]

La funzione logaritmica è quindi banalmente una funzione in cui compare un logaritmo e lo stesso discorso può essere esteso alla funzione esponenziale. Tali funzioni si distinguono per i seguenti andamenti:

• l'andamento della funzione logaritmica dipende dal valore della base. Se la base è maggiore di uno, la funzione presenta un asintoto nell'asse
  [math]y[/math]
  e tende a meno infinito avvicinandosi a zero. Se, invece, la base è inclusa tra
  [math]0[/math]
  e
  [math]1[/math]
  , la funzione tende a più infinito per valori di
  [math]x[/math]
  prossimi allo zero
• la funzione esponenziale invece tende a zero per valori negativi infiniti di
  [math]x[/math]
  , mentre tende a più infinito per valori positivi infiniti di
  [math]x[/math]

Come risolvere le equazioni esponenziali e logaritmiche

Le equazioni logaritmiche sono quelle equazioni in cui l'incognita compare anche nell'esponente del logaritmo. Non esiste una strategia univoca per risolvere questo tipo di equazioni ma è possibile seguire degli step per valutare quale sia il procedimento più corretto.

Prima di tutto, bisognerebbe definire il dominio del logaritmo, considerando che l'argomento deve sempre essere maggiore di 0 così come la base, la quale non dev'essere unitaria. A questo punto, si dovrebbe cercare di riscrivere l'equazione in una forma "comoda", per cui sia possibile procedere con la risoluzione. Gli approcci adottabili quindi sono:

• riscrivere l'equazione in una forma elementare, ossia in una forma del tipo
  [math]log_a(f(x))=log_a(g(x))[/math]
  e poi eguagliare gli argomenti
• risolvere l'equazione attraverso l'utilizzo di un'esponenziale. Ciò può essere fatto se al secondo membro è presente una costante come nel caso
  [math]log_a(f(x))=b[/math]
• risolvere l'equazione per sostituzione, ossia eseguendo un cambio di variabile che permetta di far rientrare l'equazione nel primo caso citato
• risolvere l'equazione graficamente

Lo stesso approccio può essere esteso anche alle equazioni esponenziali. In questo caso, le soluzioni adottabili sono:

• riscrivere l'equazione in una forma elementare ossia
  [math]a^{f(x)}=b[/math]
  , oppure nella forma
  [math]a^{f(x)}=b^{g(x)}[/math]
• risolvere l'esponenziale per sostituzione, come nel caso dei logaritmi
• optare per il metodo grafico

Esercizio svolto: come risolvere un'equazione esponenziale

Nell'immagine è rappresentata la risoluzione dell'equazione

. Nel primo passaggio sono state sfruttate le proprietà delle funzioni esponenziali, per cui l'esponenziale di una somma può essere vista come il prodotto tra le esponenziali elevate ai fattori mentre l'esponenziale di una differenza è scritta come il rapporto tra le esponenziali elevate al numeratore e al denominatore. Anche la proprietà dell'esponente frazionario è applicata, secondo la quale in presenza di un'esponente frazionario, la funzione elevata al numeratore dell'esponente può essere riscritta sotto una radice di indice pari al denominatore dell'esponente.

Nella terza riga sono stati effettuati i calcoli conseguiti dalla prima ed è stata sfruttata la proprietà di potenza di potenza, in modo da poter ricavare da ogni addendo la quantità

. Quest'ultima è poi coinvolta in un raccoglimento totale, che consente di risolvere l'equazione. La soluzione è

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni esponenziali e logaritmiche vedi anche qui