Risolvere la seguente equazione esponenziale
[math]3^{1+2x} +4/3 = 4 \cdot 3^{x}[/math]
Risulta essere, per semplici proprietà delle potenze
[math]3^{1+2x}=3 \cdot 3^{2x}[/math]
Quindi la nostra equazione diventa
[math]3 \cdot 3^{2x}-4 \cdot 3^{x}+4/3=0[/math]
ovvero, moltiplicando entrambi i membri per 3
[math]9 \cdot 3^{2x}-12 \cdot 3^{x}+4=0[/math]
Poniamo
[math]3^x=T[/math]
(con [math]T>0[/math]
, dal momento che fa le veci di [math]3^x[/math]
, che non è mai negativo e nemmeno nullo) e risolviamo l'equazione di secondo grado in T, cioè
[math]9 \cdot T^2-12 \cdot T+4[/math]
Ma riconosciamo che l'espressione del primo membro è il quadrato di un binomio, cioè [math](3T-2)^2=0[/math]
La soluzione è ovviamente
[math]T=2/3[/math]
, per cui
[math]3^x=2/3[/math]
, cioè [math]x=\\log_3(2/3)[/math]
. La soluzione può anche essere scritta, usando una proprietà dei logaritmi,
[math]\\log_3(2/3)=\\log_3 2-\\log_3 3[/math]
ovvero [math]\\log_3 2-1[/math]
FINE
![Equazioni esponenziali e logaritmiche: [math]{2}^{{{3}{x}-{2}}}\cdot{4}^{{{1}-{x}}}=\sqrt{{{8}}}[/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/10/equ_esp_e1.jpg)
