_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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2' di lettura

Risolvere il seguente sistema di equazioni esponenziali:

[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
4^{y^2} - 2^{4x} = 0 &\
frac{625^x sqrt{25^x}}{sqrt{125}} = (frac{1}{5})^y &
end{array}
ight.
[math][/math]

Svolgimento

Cominciamo risolvendo la prima equazione:

[math] 4^{y^2} - 2^{4x} = 0 [/math]

Trasformiamo tutto in potenza di 2:

[math] 2^{2y^2} - 2^{4x} = 0 [/math]

[math] 2^{2y^2} = 2^{4x} [/math]

Poich le potenze hanno la stessa base, possiamo uguagliare gli esponenti:

[math] 2y^2 = 4x o y^2 = 2x [/math]

Passiamo ora alla seconda equazione:

[math] frac(625^x \cdot \sqrt{25^x})(\sqrt(125)) = (1/5)^y[/math]

Allo stesso modo, trasformiamo tutto in potenza:

[math] frac(5^{4x} \cdot \sqrt{5^{2x}})(\sqrt(5^3)) = (5^{-1})^y[/math]

[math] frac(5^{4x} \cdot (5^{2x})^{1/2} )((5^3)^{1/2}) = 5^{-y} [/math]

[math] frac(5^{4x} \cdot 5^{2x \cdot 1/2} )( 5^{3 \cdot 1/2}) = 5^{-y} [/math]

[math] frac(5^{4x} \cdot 5^x )( 5^{3/2}) = 5^{-y} [/math]

[math] frac(5^{4x + x} )( 5^{3/2}) = 5^{-y} [/math]

[math] frac(5^{5x} )( 5^{3/2}) = 5^{-y} [/math]

[math] 5^{5x - 3/2} = 5^{-y} [/math]

Poich le potenze hanno la stessa base, possiamo uguagliare gli esponenti:

[math] 5x - 3/2 = -y [/math]

[math] 10 x - 3 = - 2y [/math]

[math] 10 x + 2y - 3 = 0 [/math]

Torniamo al sistema:

[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
y^2 = 2x &\
10x + 2y - 3 = 0 &
end{array}
ight.
[math][/math]

Ricaviamo x dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:

[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
x = frac{y^2}{2} &\
10x + 2y - 3 = 0 &
end{array}
ight.
[math][/math]

Lavoriamo sulla seconda equazione:

[math] 10 \cdot frac(y^2)(2) + 2y - 3 = 0 [/math]

[math] 5y^2 + 2y - 3 = 0 [/math]

Troviamo le soluzioni con la formula ridotta

[math]y = frac(-b/2 \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]

[math]y = frac(-2/2 \sqrt{(2/2)^2 - (-3) \cdot 5})(5) = frac(-1 \sqrt(1+15))(5) = [/math]

[math] frac(-1 \sqrt{16})(5) = frac(-1 4 )(5) [/math]

[math] y_1 = frac(-1 + 4 )(5) = 3/5 , y_2 = frac(-1 - 4 )(5) = -1 [/math]

Troviamo i corrispondenti valori di x:

[math] x_1 = frac((3/5)^2)(2) = frac(9)(25) \cdot 1/2 = frac(9)(50) [/math]

[math] x_2 = frac((-1)^2)(2) = 1 \cdot 1/2 = 1/2 [/math]

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