Risolvi e discuti la seguente equazione parametrica:
[math] (a - 2)(a + 2)x - 3ax - 3 = 3a [/math]
Svolgimento
Per prima cosa, svolgiamo i calcoli e troviamo il valore di x in funzione di a:
[math] (a^2 - 4)x - 3ax - 3 - 3a = 0 [/math]
[math] a^2x - 4x - 3ax - 3 - 3a = 0 [/math]
Raccogliamo la x:
[math] (a^2 - 4 - 3a) x - 3 - 3a = 0 [/math]
[math] (a^2 - 4 - 3a) x = 3 + 3a [/math]
Ricaviamo il valore di x in funzione di a:
[math] x = frac(3 + 3a)(a^2 - 3a - 4) [/math]
Affinch questo risultato sia accettabile, necessario che il denominatore della frazione sia diverso da zero; troviamo quindi i valori che annullano il denominatore:
[math] a^2 - 3a - 4 = 0 [/math]
Risolviamo con la formula :
[math] x = frac(- b \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]
[math] a = frac(- (-3) \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot (-4)})(2) = frac(3 \sqrt(9 + 16))(2) =[/math]
[math] frac(3 \sqrt{25})(2) = frac(3 5)(2) [/math]
Si ottiene quindi:
[math] a = frac(3 + 5)(2) = 8/2 = 4 o a = frac(3 - 5)(2) = - 2/2 = -1 [/math]
Discutiamo il valore di x che si ottiene con i valori di a trovati:
- per [math] a = 4 [/math]:
[math] x = frac(3 + 3 \cdot 4)(4^2 - 3 \cdot 4 - 4) = frac(3 + 12)(16 - 12 - 4) = (15)/0 [/math]
L'equazione quindi impossibile.
- per [math] a = - 1 [/math]:
[math] x = frac(3 + 3 \cdot (-1))((-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 4) = frac(3 - 3)(1 + 3 - 4) = 0/0 [/math]
L'equazione quindi indeterminata.
- per [math] a ? 4? a ? - 1 [/math]:
[math] x = frac(3 + 3a)(a^2 - 3a - 4) [/math]
