_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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2' di lettura

Determina per quali valori di

[math]k[/math]
lequazione
[math]x^2 - 2(k - 6)x + 5 = 0 [/math]
ha
  1. Radici coincidenti;
  2. Radici opposte;
  3. Una radice uguale a
    [math]-1[/math]
    .

Svolgimento

Per prima cosa, affinch lequazione abbia significato necessario che sia
[math]? ? 0[/math]
, quindi:

[math] b^2 - 4ac ?0[/math]

[math][-2(k-6)]^2 - 4 \cdot 5 ?0[/math]

[math][-2k+12]^2 - 20 ?0[/math]

[math] 4k^2 + 144 - 48k - 20 ?0[/math]

[math] 4k^2 - 48k + 124 ?0[/math]

[math] k^2 - 12k + 31 ?0[/math]

Passiamo allequazione associata e troviamo le soluzioni con la formula ridotta

[math] k = frac(-b/2 \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]
:

[math] y^2 = frac( 6 \sqrt{ 6^2 - 31})(1) = 6 \sqrt(36 - 31) = 6 \sqrt(5) [/math]

[math] k_1 = 6 + \sqrt{5} , k_2 = 6 - \sqrt{5} [/math]
:

Poich la disequazione maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:

[math] k ?6 - \sqrt{5} ? k ?6 + \sqrt{5} [/math]

Svolgimento (a)

Se le radici sono coincidenti, abbiamo che
[math]x_1 = x_2 [/math]
.
In questo caso dobbiamo porre
[math] ?= 0[/math]

[math] b^2 - 4ac = 0[/math]

[math][-2(k-6)]^2 - 4 \cdot 5 = 0[/math]

[math][-2k+12]^2 - 20 = 0[/math]

[math] 4k^2 + 144 - 48k - 20 = 0[/math]

[math] 4k^2 - 48k + 124 = 0[/math]

[math] k^2 - 12k + 31 = 0[/math]

troviamo le soluzioni con la formula ridotta

[math] k = frac(-b/2 \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]
:

[math] y^2 = frac( 6 \sqrt{ 6^2 - 31})(1) = 6 \sqrt(36 - 31) = 6 \sqrt(5) [/math]

[math] k_1 = 6 + \sqrt{5} , k_2 = 6 - \sqrt{5} [/math]

Svolgimento (b)

Le radici sono opposte, in questo caso si ha che
[math]x_1 = - x_2[/math]
, quindi
[math]x_1 + x_2 = 0[/math]
.

Sapendo che la somma delle radici data dalla formula

[math]- b/a[/math]
, abbiamo che:

[math] - b/a = 0 o - frac(-2(k-6))(1) = 0 o k - 6 = 0 o k = 6 [/math]

Tuttavia, dobbiamo escludere questo risultato, poich non rientra nellintervallo delle soluzioni accettabili.

Quindi, impossibile che le radici siano opposte.

Svolgimento (d)

Se una radice uguale a
[math]-1[/math]
, abbiamo che
[math]x = - 1[/math]
, quindi:

[math] (-1)^2 - 2(k-6) \cdot (-1) + 5 = 0[/math]

[math] 1 + 2(k-6) + 5 = 0[/math]

[math] 1 + 2k - 12 + 5 = 0[/math]

[math] 2k - 6 = 0 o k = 3[/math]

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