Nellequazione
[math]x^2 - 2(a - 1)x + a - 1 = 0 [/math]
determina a in modo che le radici [math]x_1[/math]
e [math]x_2[/math]
soddisfino le seguenti condizioni:- [math] x_1 = x_2 [/math];
- le radici siano distinte;
- [math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = 12 [/math];
- [math] frac(1)(x_1 ^2) + frac(1)(x_2 ^2) = 7/2 [/math];
- [math] frac(1)(x_1 ^3) + frac(1)(x_2 ^3) = 5 [/math];
Svolgimento (0)
Per prima cosa, affinch lequazioni abbia significato, necessario che il suo delta sia maggiore o uguale a zero, quindi:
[math] b^2 - 4ac ?0[/math]
[math] [- 2(a - 1)]^2 - 4 \cdot (a - 1) ?0[/math]
[math] [- 2a + 2]^2 - 4a + 4 ?0[/math]
[math] 4a^2 + 4 - 8a - 4a + 4 ?0[/math]
[math] 4a^2 - 12a + 8 ?0[/math]
[math] a^2 - 3a + 2 ?0[/math]
Passiamo allequazione associata e determiniamo le soluzioni con la formula
[math]a = frac(-b \sqrt{b^2 - 4ac})(2a)[/math]
:
[math] a^2 - 3a + 2 = 0[/math]
[math]a = frac(-(-3) \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2})(2) = frac(3 \sqrt(9-8))(2) = frac(3 1)(2) [/math]
Otteniamo i due valori di a:
[math] a_1 = frac(3 + 1)(2) = 2 , a_2 = frac(3 - 1)(2) = 1 [/math]
Essendo la disequazione maggiore o uguale a zero, le soluzioni saranno gli intervalli esterni alle radici:
[math] a ? 1 ? a ?2[/math]
Svolgimento (1)
Nel caso in cui le soluzioni siano coincidenti, si ha che[math]? = 0[/math]
, quindi:
[math] a^2 - 3a + 2 = 0[/math]
[math]a = frac(-(-3) \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2})(2) = frac(3 \sqrt(9-8))(2) = frac(3 1)(2) [/math]
[math] a_1 = frac(3 + 1)(2) = 2 , a_2 = frac(3 - 1)(2) = 1 [/math]
Entrambe le soluzioni sono accettabili.
Svolgimento (2)
Affinch le radici siano distinte necessario porre[math]? > 0[/math]
, quindi:
[math] a^2 - 3a + 2 > 0[/math]
Passiamo allequazione associata e determiniamo le soluzioni con la formula
[math]a = frac(- b \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]
:
[math] a^2 - 3a + 2 = 0[/math]
[math]a = frac(-(-3) \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2})(2) = frac(3 \sqrt(9-8))(2) = frac(3 1)(2) [/math]
[math] a_1 = frac(3 + 1)(2) = 2 , a_2 = frac(3 - 1)(2) = 1 [/math]
Essendo la disequazione maggiore o uguale a zero, le soluzioni saranno gli intervalli esterni alle radici:
[math] a > 1 ? a > 2[/math]
Svolgimento (3)
La somma dei quadrati delle radici pu essere scritta in questo modo:
[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2[/math]
Sappiamo che la somma delle radici data dalla formula
[math]- b/a[/math]
, mentre il loro prodotto [math]c/a[/math]
, quindi:
[math] (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = 12 [/math]
[math] (- b/a)^2 - 2 c/a = 12 [/math]
[math] (- frac(-2a + 2)(1) )^2 - 2 frac(a - 1)(1) = 12 [/math]
[math] ( 2a - 2 )^2 - 2a + 2 = 12 [/math]
[math] 4a^2 + 4 - 8a - 2a + 2 = 12 [/math]
[math] 4a^2 - 10a - 6 = 0 [/math]
[math] 2a^2 - 5a - 3 = 0 [/math]
[math]a = frac(-(-5) \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot (-3)})(2 \cdot 2) = frac(5 \sqrt(25+24))(4) = frac(5 7)(4) [/math]
[math] a_1 = frac(5 + 7)(4) = 3 , a_2 = frac(5 - 7)(4) = -1/2 [/math]
Svolgimento (4)
Calcoliamo il minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore, avendo posto[math] x_1 ?0 [/math]
e [math]x_2 ?0 [/math]
:
[math] 2 (x_1 ^2 + x_2 ^2) = 7 (x_1 ^2 x_2 ^2) [/math]
La somma dei quadrati delle radici pu essere scritta in questo modo:
[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2) ^2 - 2 x_1 x_2 [/math]
Mentre il prodotto dei quadrati delle radici possiamo scriverlo in questo modo:
[math] x_1 ^2 x_2 ^2 = (x_1 x_2)^2[/math]
Sapendo che la somma delle radici data dalla formula
[math]- b/a[/math]
, mentre il loro prodotto [math]c/a[/math]
, abbiamo che:
[math] (x_1 + x_2) ^2 - 2 x_1 x_2 = (- b/a)^2 - 2 c/a[/math]
[math] (x_1 x_2)^2 = (c/a)^2[/math]
Quindi abbiamo:
[math] 2 [(- b/a)^2 - 2 c/a] = 7 (c/a)^2 [/math]
Sostituiamo i valori e risolviamo:
[math] 2 [(- frac(- 2a + 2)(1) )^2 - 2 frac(a - 1)(1) ] = 7 ( frac(a - 1)(1) )^2 [/math]
[math] 2 [ (2a - 2)^2 - 2a + 2 ] = 7 (a - 1)^2 [/math]
[math] 2 [ 4a^2 + 4 - 8a - 2a + 2 ] = 7 (a^2 + 1 - 2a) [/math]
[math] 2 [ 4a^2 - 10a + 6 ] = 7a^2 + 7 - 14a [/math]
[math] 8a^2 - 20a + 12 - 7a^2 - 7 + 14a = 0 [/math]
[math] a^2 - 6a + 5 = 0 [/math]
[math]a = frac(-(-6) \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 5})(2) = frac(5 \sqrt(36-20))(2) = frac(6 4)(2) [/math]
[math] a_1 = frac(6 + 4)(2) = 5 , a_2 = frac(6 - 4)(2) = 1 [/math]
Dobbiamo scartare una soluzione,
[math]a = 1[/math]
, poich in questo caso le radici sono coincidenti, quindi, lunica soluzione [math]a = 5[/math]
.
Svolgimento (5)
Calcoliamo il minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore, avendo posto[math] x_1 ?0 [/math]
e [math]x_2 ?0 [/math]
:
[math] x_1 ^3 + x_2 ^3 = 5 (x_1 ^3 x_2 ^3) [/math]
cerchiamo unespressione di
[math]x_1 ^3 + x_2 ^3 [/math]
in funzione di [math]x_1 + x_2 [/math]
e [math]x_1 \cdot x_2 [/math]
.Dalluguaglianza
[math] (x_1 + x_2 )^3 = x_1 ^3 + x_2 ^3 + 3 x_1 ^2 x_2 + 3 x_1 x_2 ^2 [/math]
si deduce che
[math] x_1 ^3 + x_2 ^3 = (x_1 + x_2 )^3 - 3 x_1 ^2 x_2 - 3 x_1 x_2 ^2 [/math]
quindi:
[math] x_1 ^3 + x_2 ^3 = (x_1 + x_2 )^3 - 3 x_1 \cdot x_2 ( x_1 + x_2 ) [/math]
Poniamo quindi:
[math] (x_1 + x_2 )^3 - 3 x_1 \cdot x_2 ( x_1 + x_2 ) = 5(x_1 \cdot x_2)^3 [/math]
Sostituiamo, tenendo presente che la somma delle radici data dalla formula
[math]- b/a[/math]
, mentre il loro prodotto [math]c/a[/math]
.
[math] (- b/a)^3 - 3 c/a (- b/a) = 5 (c/a)^3 [/math]
[math] (- frac(- 2a + 2)(1))^3 - 3 frac(a - 1)(1) (- frac(- 2a + 2)(1)) = 5 (frac(a - 1)(1))^3 [/math]
[math] (2a - 2)^3 - (3a - 3) \cdot (2a - 2) = 5 (a - 1)^3 [/math]
[math] 8a^3 - 8 - 24a^2 + 24a - (6a^2 - 6a - 6a + 6) = 5 (a^3 - 1 - 3a^2 + 3a) [/math]
[math] 8a^3 - 8 - 24a^2 + 24a - (6a^2 - 6a - 6a + 6) = 5 (a^3 - 1 - 3a^2 + 3a) [/math]
[math] 8a^3 - 8 - 24a^2 + 24a - 6a^2 + 6a + 6a - 6 = 5a^3 - 5 - 15a^2 + 15a [/math]
[math] 8a^3 - 8 - 24a^2 + 24a - 6a^2 + 6a + 6a - 6 - 5a^3 + 5 + 15a^2 - 15a = 0[/math]
[math] 3a^3 - 15a^2 + 21a - 9 = 0[/math]
[math] a^3 - 5a^2 + 7a - 3 = 0[/math]
Risolvendo con il metodo di Ruffini si ottiene:
[math](a - 1)(a^2 - 4a + 3) = 0[/math]
Scomponiamo il trinomio di secondo grado come trinomio notevole:
[math](a - 1)(a - 3)(a - 1) = 0[/math]
[math](a - 1)^2(a - 3) = 0[/math]
Troviamo le soluzioni con la legge dellannullamento del prodotto:
[math] (a - 1)^2 = 0 o a - 1 = 0 o a = 1[/math]
[math] a - 3 = 0 o a = 3[/math]
Non potendo accettare la soluzione
[math]a = 1[/math]
, poich in questo caso le radici sarebbero coincidenti, abbiamo solo [math]a = 3[/math]
.
