Equazioni lineari di primo grado: esercizi pratici

In questo appunto di Matematica è presente una panoramica sul mondo delle equazioni: definizione, classificazione, principi ed esercizi pratici. All'interno dell'appunto è possibile trovare esercizi, con relativo procedimento di risoluzione, di equazioni lineari di primo grado. Tali esercizi permettono di comprendere appieno la metodologia di risoluzione di un'equazione di primo grado illustrando passo dopo passo i vari passaggi risolutivi.

Definizione di equazione

In matematica, parliamo di equazione quando ci troviamo davanti ad un'eguaglianza tra espressioni matematiche in cui sono presenti una o più incognite. Cosa vuol dire risolvere un'equazione? Risolvere un'equazione vuol dire trovare quei valori numerici che, se sostituiti al posto dell'incognita, rendono vera l'uguaglianza, cioé verificano l'equazione. Quando ci approcciamo alla risoluzione di un'equazione è necessario far presente che, a priori, non possiamo dare per scontato che esistano soluzioni. Inoltre potremmo incappare anche nella situazione in cui, risolvendo l'equazione, ci rendiamo conto che essa è soddisfatta per qualsiasi valore dell'incognita: in questo caso l'equazione presa in esame è in realtà un'identità.

Equazioni di primo grado

Per comprendere appieno cosa voglia dire "equazione di primo grado" dobbiamo andare a definire cosa sia il grado di un'equazione. Per calcolare il grado un'equazione bisogna, per prima cosa, ridurre l'equazione in esame alla forma normale, una volta fatto ciò, il grado dell'equazione è uguale al grado del polinomio che si trova a primo membro dell'equazione, ovvero, il grado massimo con cui compare l'incognita.

Quando parliamo di riduzione a forma normale possiamo far riferimento alla seguente definizione: un equazione è ridotta a forma normale se è nella forma in cui il primo membro è un polinomio ridotto e il secondo membro è zero. Il seguente esempio di riduzione a forma normale fornisce un esempio pratico di applicazione della teoria appena spiegata.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di primo grado vedi anche qua

Equazioni di primo grado: tipologie

Andando ad analizzare le caratteristiche di un'equazione possiamo individuare diverse tipologie. Un primo tipo di classificazione può essere effettuata facendo riferimento alla tipologia di espressioni e operazioni che compaiono, la prima distinzione è tra: algebriche e trascendenti.

• Equazioni Algebriche: sull'incognita vengono effettuate operazioni algebriche: somma, differenza, prodotto, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice
• Equazioni Trascendenti: l'incognita compare nell'argomento di funzioni esponenziali, logaritmiche o goniometriche

Volendo effettuare una categorizzazione che sia riferita più nello specifico alle operazioni che compaiono all'interno dell'equazione, possiamo individuare diverse tipologie:

• Equazioni Numeriche: sono presenti solo numeri, fatta eccezione per l'incognita
• Equazioni Letterali: oltre all'incognita sono presenti altre lettere che svolgono il ruolo di costanti
• Equazioni Intere: non ci sono frazioni o, nel caso ci fossero, se l'incognita non compare in nessun denominatore
• Equazioni Fratte: l'incognita compare in almeno un denominatore
• Equazioni Razionali: l'incognita non è sotto il segno di radice
• Equazioni Irrazionali: l'incognita compare sotto il segno di radice; anche qui bisogna fare attenzione: se all'interno dell'equazione sono presenti radici, non è detto che l'equazione sia irrazionale. Bisogna verificare se sotto una o più di quelle radici vi compare l'incognita.

Proviamo ora invece ad esaminare le soluzioni di un'equazione e concentriamoci sulle diverse soluzioni possibili, allora individuiamo tre categorie di equazioni:

• Equazione Determinata: ammette un numero finito di soluzioni
• Equazione Indeterminata: ammette infinite soluzioni
• Equazione Impossibile: non ammette soluzioni

Risolvi le seguenti equazioni

Di seguito sono proposte una serie di equazioni di primo grado, seguendo la teoria che abbiamo appena enunciato, prova a risolvere le seguenti equaizoni e verifica in seguito se i procedimenti risolutivi applicati e le soluzioni, coincidono con quelle proposte a fondo pagina.

1. [math] 7x - 5 = 0[/math]
2. [math] 3x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/math]
3. [math] 5x = - 5 [/math]
4. [math] - \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} [/math]

Svolgimento equazioni

Partiamo con la risoluzione dell'equazione di primo grado numero 1:

Ora passiamo all'equazione numero 2:

Portiamo tutto a primo membro:

Dopo aver risolto l'equazione numero 2 possiamo passare a vedere i passaggi risolutivi necessari a svolgere l'equazione numero 3:

La risoluzione dell'equazione immediata, e si ha:

Infine andiamo ad illustrare la risoluzione dell'ultima equazione presa in esame, la numero 4:

La risoluzione dell'equazione immediata, e si ha:

Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione di equazioni di primo grado vedi anche qua