Equazioni 1°, 2°, parametriche, di grado superiore...: x^2-2-5sqrt(x^2-2)+6=0

x^2-2-5sqrt(x^2-2)+6=0 x^2-2-5sqrt(x^2-2)+6=0 Costruamo l'insieme di equivalenza, e quindi deve risultare: x^2-2>=0 cioè, x^2>=2 => x<=-sqrt2 vv x>=sqrt2 Pertanto E={x<=-2 vv x>=2} . Poniamo x^2-2=y e quindi avrem

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[math]x^2-2-5\sqrt{x^2-2}+6=0[/math]

Costruamo l'insieme di equivalenza, e quindi deve risultare:

[math]x^2-2>=0[/math]

cioè,

[math]x^2>=2 => x=\sqrt2[/math]

Pertanto

[math]E={x=2}[/math]

Poniamo

[math]x^2-2=y[/math]

e quindi avremo

[math]y-5\sqrty+6=0[/math]

;

[math]y+6=5\sqrty[/math]

Eleviamo ambo i membri al quadrato, ottenendo:

[math](y+6)^2=(5\sqrty)^2[/math]

;

[math]y^2+36+12y=25y[/math]

[math]y^2-13y+36=0[/math]

Risolviamo l'equazione di secondo grado

[math]\Delta=b^2-4ac=(-13)^2-(4 \cdot 1 \cdot 36)=169-144=25[/math]

[math]y_(1,2)=(-b+-\sqrt{\Delta})/(2a)=(13+-\sqrt(25))/2=(13+-5)/2 => y_1=9 ^^ y_2=4[/math]

Pertanto, essendo

[math]y=x^2-2[/math]

si ha

[math]y_1=9=x^2-2 => x^2=11 => x=+-\sqrt{11}[/math]

[math]y_2=4=x^2-2 => x^2=6 => x=+-\sqrt6[/math]

Quindi soluzione dell'equazione sarà l'insieme

[math]S={+-\sqrt6; +-\sqrt{11}}[/math]

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