$lim_{x to 0} frac{sin(ln(1-x))}{sin(x)}$

Calcolare

 

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\ln(1-x))}{\sin(x)}$ (1)

 


Ponendo $t = -x$, e ricordando che il seno è una funzione dispari, (1) diventa

 

 

$\lim_{t \to 0} – \frac{\sin(\ln(1 + t))}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} – \frac{\sin(\ln(1 + t))}{\ln(1 + t)} \frac{\ln(1 + t)}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} – \frac{\sin(\ln(1 + t))}{\ln(1 + t)} \frac{\ln(1 + t)}{t} \frac{t}{\sin(t)}$ (2)

 

Ricordando i limiti notevoli

 

$\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \quad \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1 + u)}{u} = 1$

 

e considerando che se $t \to 0$ allora $\ln(1 + t) \to 0$ si ottiene

 

$\lim_{t \to 0} – \frac{\sin(\ln(1 + t))}{\ln(1 + t)} \frac{\ln(1 + t)}{t} \frac{t}{\sin(t)} = -1 \cdot 1 \cdot 1 = -1$

 

FINE

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