Calcolare
[math]\lim_{x \to 0} \frac{\\sin(ln(1-x))}{\\sin(x)}[/math]
(1)
Ponendo
[math]t = -x[/math]
, e ricordando che il seno è una funzione dispari, (1) diventa
[math]\lim_{t \to 0} - \frac{\\sin(ln(1 + t))}{\\sin(t)} = \lim_{t \to 0} - \frac{\\sin(ln(1 + t))}{ln(1 + t)} \frac{ln(1 + t)}{\\sin(t)} = \lim_{t \to 0} - \frac{\\sin(ln(1 + t))}{ln(1 + t)} \frac{ln(1 + t)}{t} \frac{t}{\\sin(t)}[/math]
(2)
Ricordando i limiti notevoli
[math]\lim_{u \to 0} \frac{\\sin(u)}{u} = 1 \quad \lim_{u \to 0} \frac{ln(1 + u)}{u} = 1[/math]
e considerando che se
[math]t \to 0[/math]
allora [math]ln(1 + t) \to 0[/math]
si ottiene
[math]\lim_{t \to 0} - \frac{\\sin(ln(1 + t))}{ln(1 + t)} \frac{ln(1 + t)}{t} \frac{t}{\\sin(t)} = -1 \cdot 1 \cdot 1 = -1[/math]
FINE
