[math]lim_(x o +infty)((\\log(x^3+1))/x)[/math]
relativamente all'argomento del logaritmo, eleviamo al cubo ed estraiamo la radice cubica, il che non modifica il valore dell'argomento del logaritmo
[math]lim_(x o +infty)((\\log(
oot(3)(x^3+1)^3))/x)[/math]
oot(3)(x^3+1)^3))/x)[/math]
applicando le proprietà dei logaritmi
[math]lim_(x o +infty)(3(\\log(
oot(3)(x^3+1)))/x)[/math]
oot(3)(x^3+1)))/x)[/math]
moltiplichiamo e dividiamo per la radice cubica
[math]3lim_(x o +infty)((\\log(
oot(3)(x^3+1)))/
oot(3)(x^3+1) \cdot
oot(3)(x^3+1)/x)[/math]
oot(3)(x^3+1)))/
oot(3)(x^3+1) \cdot
oot(3)(x^3+1)/x)[/math]
Calcoliamo la prima parte del limite
[math]lim_(x o +infty)((\\log(
oot(3)(x^3+1)))/
oot(3)(x^3+1))[/math]
oot(3)(x^3+1)))/
oot(3)(x^3+1))[/math]
sostituendo
[math]t=
oot(3)(x^3+1)[/math]
e ossernando che oot(3)(x^3+1)[/math]
[math]lim_(x o infty)(t)=+infty[/math]
si ha
[math]lim_(x o +infty)(\\logt/t)=0[/math]
è un limite notevole Calcoliamo ora la seconda parte del limite
[math]lim_(x o +infty)(
oot(3)(x^3+1)/x)=lim_(x o infty)(
oot(3)((x^3+1)/x^3))=[/math]
oot(3)(x^3+1)/x)=lim_(x o infty)(
oot(3)((x^3+1)/x^3))=[/math]
[math]lim_(x o +infty)(
oot(3)(x^3/x^3+1/x^3)) =
oot(3)(1)=1[/math]
oot(3)(x^3/x^3+1/x^3)) =
oot(3)(1)=1[/math]
In definitiva il limite da calcolare è dato da
[math]3 \cdot 0 \cdot 1=0[/math]
