Lesercizio chiede di calcolare lo sviluppo di Taylor al quarto ordine della funzione; possiamo procedere, in questo caso, senza applicare direttamente la formula del polinomio di Taylor: possiamo calcolare inizialmente gli sviluppi delle funzioni che sono argomento dei coseni, in quanto si tratta di funzioni che presentano sviluppi noti.
In particolare, lo sviluppo al quarto ordine della funzione tangente il seguente:
[math] tg(x) = x + frac(x^3)(3) + o(x^4) [/math]
Mentre per il seno abbiamo:
[math] \\sin(x) = x - frac(x^3)(6) + o(x^4) [/math]
Sostituiamo tali sviluppi nella funzione originale:
[math] f(x) = \\cos(5 (x + frac(x^3)(3) + o(x^4)) ) - \\cos( 5 (x - frac(x^3)(6) + o(x^4)) ) [/math]
Svolgiamo le moltiplicazioni:
[math] f(x) = \\cos( 5x + frac(5 x^3)(3) + o(x^4)) ) - \\cos( 5x - frac(5x^3)(6) + o(x^4)) ) [/math]
Possiamo quindi procedere calcolando ora il polinomio di Taylor della funzione coseno; nel caso in cui largomento del coseno
[math]y[/math]
, si ha il seguente sviluppo:
[math] \\cos(y) = 1 - frac(y^2)(2) + frac(y^4)(24) - .
+ frac((-1)^n x^{2n})( {2n}! ) + o(x^{2n}) [/math]
Tenendo conto degli argomenti delle funzioni coseno, per ottenere uno sviluppo di Taylor al quarto ordine della funzione, possiamo sviluppare i coseni al quarto ordine:
[math] f(x) = 1 - frac( (5x + frac(5 x^3)(3) + o(x^4))^2)(2) + frac((5x + frac(5 x^3)(3) + o(x^4))^4)(24) + o(x^4) - [/math]
[math] [1 - frac((5x - frac(5x^3)(6) + o(x^4))^2)(2) + frac((5x - frac(5 x^3)(6) + o(x^4))^4)(24) + o(x^4) ] [/math]
Procediamo con lo svolgimento; nel calcolo delle potenze possiamo omettere tutti i monomi con
[math]x[/math]
di grado superiori al quarto, che vengono inglobati allinterno dello-piccolo.
[math] f(x) = 1 - 1/2 (25x^2 + frac(50)(3) x^4) + 1/(24) ( 25x^2 + frac(50)(3) x^4 )^2 + o(x^4) - [1 - 1/2 ( 25x^2 - (25)/3 x^4) + 1/(24)( 25x^2 - (25)/3 x^4 )^2 + o(x^4)] = [/math]
[math]1 - (25)/2 x^2 - frac(25)(3) x^4 + 1/(24) ( 625 x^4 ) + o(x^4) - [1 - (25)/2 x^2 + (25)/6 x^4 + 1/(24) ( 625 x^4 ) + o(x^4)] = [/math]
[math]1 - (25)/2 x^2 - frac(25)(3) x^4 + (625)/(24) x^4 + o(x^4) - [1 - (25)/2 x^2 + (25)/6 x^4 + (625)/(24) x^4 + o(x^4)] = [/math]
[math]1 - (25)/2 x^2 - frac(25)(3) x^4 + (625)/(24) x^4 + o(x^4) - 1 + (25)/2 x^2 - (25)/6 x^4 - (625)/(24) x^4 + o(x^4) [/math]
Eliminando i termini opposti si ottiene:
[math] - frac(25)(3) x^4 - (25)/6 x^4 + o(x^4) = - (75)/6 x^4 + o(x^4) = - (25)/2 x^4 + o(x^4) [/math]
