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Discutere, al variare del parametro reale k, il seguente sistema misto:
Francesco Camia, Discussione di un sistema goniometrico mistoDiscutere, al variare del parametro reale k, il seguente sistema misto:
L’equazione data può essere scritta nella forma da cui si
nota che essa è simmetrica in sinx e cosx ; poniamo, come spesso conviene in tal caso, (1)
e l’equazione diventa
da cui mediante le formule di duplicazione ottenendo l’equazione
Conviene ora trasformare questa in sinz
La limitazione sull’incognita x assegnata dal testo diviene, in base alla (1),
Siamo condotti a discutere il sistema misto goniometrico
(2)
sinz = t
Poniamo ora (3) e siamo condotti a discutere il sistema misto (algebrico)
(4)
È importante notare, osservando le sostituzioni (1) e (3) utilizzate, le limitazioni dell’incognita z e la
circonferenza goniometrica, che ad ogni soluzione del sistema (4) corrispondono due soluzioni
(supplementari) del sistema (2), mentre ad ogni soluzione del sistema (2) ne corrisponde una del sistema
dato all’inizio. Si potrebbe pensare di eliminare tale complicazione utilizzando, al posto della (1), la
dell’incognita z , ma con tale sostituzione
sostituzione che porta alla limitazione
conviene trasformare l’equazione del sistema misto in ottenendo l’equazione
cosz
e ponendo quindi cosz = t ; osservando però la nuova limitazione di z ottenuta e la circonferenza
goniometrica, si nota che ancora a un valore di t corrispondono due valori di z (stavolta opposti), ritrovando
una situazione analo-ga a quella ottenuta con la sostituzione (1).