Si dimostri che vale la seguente identità
[math]\\tan(\pi/4+alpha)=(1+sen2alpha)/(\\cos2alpha)[/math]
Per mostrare la veridicità , operiamo per prima cosa sul primo membro
Per la formula della tangente di angoli sommati, e ricordando che
[math]\\tan(\pi/4)=1[/math]
, avremo
[math]\\tan(\pi/4+alpha)=(1+\\tan alpha)/(1-\\tan alpha)=[/math]
[math]=\frac{1+(\\sinalpha)/\\cosalpha}{1-(\\sinalpha)/(\\cosalpha)}=[/math]
[math]=frac{(\\cosalpha+\\sinalpha)/(\\cosalpha)}{(\\cosalpha-\\sinalpha)/(\\cosalpha)}[/math]
e semplificando
[math](\\cos alpha+\\sin alpha)/(\\cos alpha-\\sin alpha)[/math]
Trattiamo ora il secondo membro
[math](1+sen2alpha)/(\\cos2alpha)[/math]
Per la prima relazione fondamentale e ricordando che
[math]\\sin2alpha=2\\sinalpha\\cosalpha[/math]
si ha
[math](\\sin ^2 alpha +\\cos^2 alpha + 2 \\sin alpha \\cos alpha)/(\\cos^2 alpha-\\sin^2 alpha)=(\\sin alpha+\\cosalpha)^2/((\\cosalpha+\\sinalpha)(\\cos alpha-\\sin alpha))=(\\sin alpha+\\cosalpha)/(\\cosalpha-\\sinalpha)[/math]
dopo aver ricordato la scomposizione che deriva dal prodotto notevole e la semplificazione.
Abbiamo mostrato che entrambi i membri sono equivalenti a una stessa forma.
FINE
