Verificare la seguente identit, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle relazioni fondamentali:
[math] frac(1)(1 + tg^2(alpha)) + 1 + tg^2(alpha) - 2 \\cos^2(alpha) - 2\\sin^2(alpha) = frac(\\sin^4(alpha))(\\cos^2(alpha)) [/math]
Svolgimento
Per prima cosa, determiniamo le condizioni di esistenza:
[math]C.E.[/math]
[math] ?tg^2(alpha) o ? tg(alpha) o alpha ??/2 + k? [/math]
[math]1 + tg^2(alpha) ?0 o tg^2(alpha) ?-1 o ? alpha ? ? [/math]
[math] \\cos^2(alpha) ?0 o tg(alpha) ?0 o alpha ??/2 + k? [/math]
Concludiamo :
[math]alpha ??/2 + k? [/math]
Trasformiamo ora in seno e coseno ed eseguiamo i calcoli; lavoriamo sull'espressione al primo membro:
[math] frac(1)(1 + (frac(\\sin(alpha))(\\cos(alpha)))^2) + 1 + (frac(\\sin(alpha))(\\cos(alpha)))^2 - 2 \\cos^2(alpha) - 2\\sin^2(alpha) [/math]
[math] frac(1)(frac(\\cos^2(alpha) + \\sin^2(alpha))(\\cos^2(alpha))) + 1 + frac(\\sin^2(alpha))(\\cos^2(alpha)) - 2 \\cos^2(alpha) - 2\\sin^2(alpha) [/math]
[math] frac(\\cos^2(alpha))(\\cos^2(alpha) + \\sin^2(alpha)) + 1 + frac(\\sin^2(alpha))(\\cos^2(alpha)) - 2 \\cos^2(alpha) - 2\\sin^2(alpha) [/math]
Notiamo che, dalla relazione fondamentale, abbiamo che
[math] \\cos^2(alpha) + \\sin^2(alpha) = 1[/math]
:
[math] frac(\\cos^2(alpha))(1) + 1 + frac(\\sin^2(alpha))(\\cos^2(alpha)) - 2 \\cos^2(alpha) - 2\\sin^2(alpha) [/math]
[math] \\cos^2(alpha) + 1 + frac(\\sin^2(alpha))(\\cos^2(alpha)) - 2 \\cos^2(alpha) - 2\\sin^2(alpha) [/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo:
[math] frac(\\cos^2(alpha) \cdot \\cos^2(alpha) + \\cos^2(alpha) + \\sin^2(alpha) - 2 \\cos^4(alpha) - 2 \\sin^2(alpha) \\cos^2(alpha))(\\cos^2(alpha)) [/math]
[math] frac(\\cos^4(alpha) + \\cos^2(alpha) + \\sin^2(alpha) - 2 \\cos^4(alpha) - 2 \\sin^2(alpha) \\cos^2(alpha))(\\cos^2(alpha)) [/math]
[math] frac( \\cos^2(alpha) - \\cos^4(alpha) + \\sin^2(alpha) - 2 \\sin^2(alpha) \\cos^2(alpha))(\\cos^2(alpha)) [/math]
Trasformiamo il numeratore in funzione del seno, applicando cio
[math] \\cos^2(alpha) = 1 - \\sin^2(alpha) [/math]
:
[math] frac( 1 - \\sin^2(alpha) - (1 - \\sin^2(alpha))^2 + \\sin^2(alpha) - 2 \\sin^2(alpha) [1 - \\sin^2(alpha)])(\\cos^2(alpha)) [/math]
[math] frac( 1 - \\sin^2(alpha) - (1 + \\sin^4(alpha) - 2 \\sin^2(alpha)) + \\sin^2(alpha) - 2 \\sin^2(alpha) + 2 \\sin^4(alpha))(\\cos^2(alpha)) [/math]
[math] frac( 1 - \\sin^2(alpha) - 1 - \\sin^4(alpha) + 2 \\sin^2(alpha) + \\sin^2(alpha) - 2 \\sin^2(alpha) + 2 \\sin^4(alpha))(\\cos^2(alpha)) [/math]
[math] frac( \\sin^4(alpha))(\\cos^2(alpha)) [/math]
Tale espressione uguale a quella del secondo membro, quindi abbiamo ottenuto lidentit.
