Semplificare la seguente espressione logaritmica:
[math][/math] log_ left(frac{1}{5}
ight) sqrt[3]{ frac{sqrt[4]{125 sqrt{5}}}{5 sqrt[4]{25 sqrt{5}}} }[math][/math]
ight) sqrt[3]{ frac{sqrt[4]{125 sqrt{5}}}{5 sqrt[4]{25 sqrt{5}}} }[math][/math]
Svolgimento
Cerchiamo di semplificare la scrittura togliendo le radici;sappiamo che la radice di un numero pu essere scritta in questo modo:
[math] \sqrt{a} = a^{1/2}[/math]
quindi:
[math][/math] log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{sqrt[4]{125 sqrt{5}}}{5 sqrt[4]{25 sqrt{5}}}
ight)^{frac{1}{3}} [math][/math]
ight) left(frac{sqrt[4]{125 sqrt{5}}}{5 sqrt[4]{25 sqrt{5}}}
ight)^{frac{1}{3}} [math][/math]
Inoltre, sfruttando la seguente propriet dei logaritmi
[math]\\log_a (b^k) = k \\log_a (b) [/math]
, possiamo scrivere:
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{sqrt[4]{125 sqrt{5}}}{5 sqrt[4]{25 sqrt{5}}}
ight) [math][/math]
ight) left(frac{sqrt[4]{125 sqrt{5}}}{5 sqrt[4]{25 sqrt{5}}}
ight) [math][/math]
Seguiamo lo stesso procedimento per le altre radici:
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{(125 sqrt{5})^{frac{1}{4}}}{5 (25 sqrt{5})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
ight) left(frac{(125 sqrt{5})^{frac{1}{4}}}{5 (25 sqrt{5})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{(5^3 5^{frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}{5 (5^2 5^{frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
ight) left(frac{(5^3 5^{frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}{5 (5^2 5^{frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{(5^3 5^{frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}{5 (5^2 5^{frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
ight) left(frac{(5^3 5^{frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}{5 (5^2 5^{frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{ ( 5^{3 + frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}{5 ( 5^{ 2 + frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
ight) left(frac{ ( 5^{3 + frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}{5 ( 5^{ 2 + frac{1}{2}})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{ ( 5^{frac{7}{2}})^{frac{1}{4}}}{5 ( 5^{ frac{5}{2}})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
ight) left(frac{ ( 5^{frac{7}{2}})^{frac{1}{4}}}{5 ( 5^{ frac{5}{2}})^{frac{1}{4}}}
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{ 5^{frac{7}{2} frac{1}{4}} }{5 5^{ frac{5}{2} frac{1}{4} } }
ight) [math][/math]
ight) left(frac{ 5^{frac{7}{2} frac{1}{4}} }{5 5^{ frac{5}{2} frac{1}{4} } }
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{5^{frac{7}{8}}}{5 5^{ frac{5}{8}} }
ight) [math][/math]
ight) left(frac{5^{frac{7}{8}}}{5 5^{ frac{5}{8}} }
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{5^{frac{7}{8}}}{5^{1 + frac{5}{8}} }
ight) [math][/math]
ight) left(frac{5^{frac{7}{8}}}{5^{1 + frac{5}{8}} }
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(frac{5^{frac{7}{8}}}{5^{frac{13}{8}} }
ight) [math][/math]
ight) left(frac{5^{frac{7}{8}}}{5^{frac{13}{8}} }
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(5^{frac{7}{8} - frac{13}{8}}
ight) [math][/math]
ight) left(5^{frac{7}{8} - frac{13}{8}}
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_left(frac{1}{5}
ight) left(5^{ - frac{6}{8}}
ight) [math][/math]
ight) left(5^{ - frac{6}{8}}
ight) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_ {(5^{-1})} (5^{ - frac{3}{4}} ) [math][/math]
Sapendo che il logaritmo, per definizione, lesponente da dare alla base per ottenere largomento, abbiamo che:
[math][/math] frac{1}{3} log_{(5^{-1})} (5^{ - frac{3}{4}}) = frac{1}{3} frac{3}{4} = frac{1}{4} [math][/math]
