Semplificare la seguente espressione logaritmica: $$  log_\left(\frac{1}{5} \right) \sqrt[3]{ \frac{\sqrt[4]{125 \sqrt{5}}}{5 \sqrt[4]{25 \sqrt{5}}} }$$

Semplificare la seguente espressione logaritmica:

$$  log_ \left(\frac{1}{5} \right) \sqrt[3]{ \frac{\sqrt[4]{125 \sqrt{5}}}{5 \sqrt[4]{25 \sqrt{5}}} }$$

 

Svolgimento

Cerchiamo di semplificare la scrittura togliendo le radici;

sappiamo che la radice di un numero può essere scritta in questo modo:

$ sqrt(a) = a^(1/2)$

quindi:

$$  log_\left(\frac{1}{5} \right) \left(\frac{\sqrt[4]{125 \sqrt{5}}}{5 \sqrt[4]{25 \sqrt{5}}}\right)^{\frac{1}{3}} $$

Inoltre, sfruttando la seguente proprietà dei logaritmi   $log_a (b^k) = k log_a (b) $, possiamo scrivere:

$$  \frac{1}{3} · log_\left(\frac{1}{5} \right) \left(\frac{\sqrt[4]{125 \sqrt{5}}}{5 \sqrt[4]{25 \sqrt{5}}}\right) $$

Seguiamo lo stesso procedimento per le altre radici:

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(\frac{(125 \sqrt{5})^{\frac{1}{4}}}{5 (25 \sqrt{5})^{\frac{1}{4}}} \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(\frac{(5^3 · 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}}{5 · (5^2 · 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}} \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(\frac{(5^3 · 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}}{5 · (5^2 · 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}} \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(\frac{ ( 5^{3 + \frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}}{5 · ( 5^{ 2 + \frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}} \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(\frac{ ( 5^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{4}}}{5 · ( 5^{ \frac{5}{2}})^{\frac{1}{4}}} \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(\frac{  5^{\frac{7}{2} · \frac{1}{4}} }{5 · 5^{ \frac{5}{2} · \frac{1}{4} } } \right) $$

 

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(\frac{5^{\frac{7}{8}}}{5 · 5^{ \frac{5}{8}} } \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(\frac{5^{\frac{7}{8}}}{5^{1 + \frac{5}{8}} } \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(\frac{5^{\frac{7}{8}}}{5^{\frac{13}{8}} } \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(5^{\frac{7}{8} – \frac{13}{8}} \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_\left(\frac{1}{5} \right)  \left(5^{ – \frac{6}{8}} \right) $$

$$  \frac{1}{3} log_ {(5^{-1})} (5^{ – \frac{3}{4}} ) $$

Sapendo che il logaritmo, per definizione, è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento, abbiamo che:

$$  \frac{1}{3} log_{(5^{-1})} (5^{ – \frac{3}{4}})  = \frac{1}{3}  · \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $$

 

 

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