Come calcolare la distanza di un punto da una retta

In quest'appunto troverai informazioni riguardanti il significato di distanza e le equazioni utili a calcolare la distanza tra due punti in generale e la distanza tra un punto e una retta, in forma esplicita ed implicita. Inoltre è presente anche un esercizio svolto su quest'ultimo argomento.

Come calcolare la distanza di un punto da una retta, note le coordinate

In matematica, enti fondamentali come punti, piano e retta si trovano nello spazio. Per questo motivo, essi hanno una posizione quantificabile, sia rispetto a un punto di riferimento che rispetto alla posizione di altri enti presenti nello spazio. A questo proposito, è possibile calcolare la distanza.

Si definisce distanza euclidea il segmento che unisce due punti, i quali possono appartenere a un piano o a una retta. A partire da questo concetto, è possibile quindi misurare la distanza tra due enti uguali o di diverso tipo, come due punti, una retta e un punto, due piani etc. Essa, tuttavia, non è sempre un valore non nullo: se, ad esempio,
due rette sono incidenti o coincidenti, la distanza è 0 in uno o più punti della retta.

Ovviamente l'approccio matematico relativo al calcolo della distanza cambia a seconda della natura dell'ente interessato. Ad esempio, per calcolare la distanza tra due punti è necessario applicare la formula

.

Per effettuare questo calcolo è necessario conoscere solo le coordinate dei due punti coinvolti.
Questo approccio può essere esteso anche al calcolo della distanza tra due piani, poiché essa è comunque una distanza tra punti. Bisogna, però, tenere presente che in quel caso ogni punto sarà specificato da tre coordinate e non da due.

Per quanto riguarda invece il calcolo della distanza tra un punto e una retta, invece, è possibile semplificare la formula sfruttando il coefficiente angolare della retta. Considerando una retta del tipo

(forma esplicita) o (forma implicita) , in cui:

• m è il coefficiente angolare, cioè il parametro che indica la pendenza della retta
• c è l'intercetta

è possibile definire due formule differenti per calcolare la distanza da un punto.

Come calcolare la distanza da un punto a una retta in forma implicita

Per effettuare il calcolo della distanza da un punto a una retta in forma implicita è necessario applicare la seguente formula: . In cui è il punto da cui misurare la distanza e e sono i coefficienti della retta.

Come calcolare la distanza da un punto a una retta in forma esplicita

In questo caso la formula da applicare per il calcolo della distanza è , in cui compaiono le coordinate del punto da cui misurare la distanza e il coefficiente angolare della retta.

Applichiamo i concetti appena appresi ad un esercizio numerico.

Esercizio: come calcolare la distanza da un punto a una retta

Determinare la distanza del punto P di coordinate dalla retta di equazione: .

Svolgimento dell'esercizio

Per risolvere il problema possiamo usare direttamente la formula per calcolare la distanza di un punto del piano da una retta data.

Ricordiamo che, dato un punto

del piano di coordinate e una retta di equazione (forma esplicita), la distanza di tale punto dalla retta si calcola con la formula precedentemente citata, ossia:

Nel nostro caso abbiamo che le coordinate del punto da considerare sono:

, mentre i coefficienti della retta sono . Quindi, sostituendo tali valori nell'equazione precedente, risulta

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo della distanza vedi anche qui