francesco.speciale
di francesco.speciale
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Scrivere l'equazione della parabola avente il vertice nel punto

[math](1;0)[/math]
e il fuoco nel punto
[math](1;1/4)[/math]

Svolgimento

L'asse di simmetria risulta parallelo all'asse
[math]y[/math]
e quindi l'equazione della parabola è:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

Sappiamo che il vertice di una parabola generica, avente l'asse parallelo all'asse
[math]y[/math]
, ha coordinate

[math](-b/(2a);(-b^2+4ac)/(4a))[/math]

mentre il fuoco ha coordinate

[math](-b/(2a);(1-b^2+4ac)/(4a))[/math]
.

Nel nostro caso si ha

[math]-b/(2a)=1[/math]
,
[math](-b^2+4ac)/(4a)=0[/math]
,
[math](1-b^2+4ac)/(4a)=1/4[/math]

Mettiamo a sistema le tre equazioni ottenute e risolviamolo per sostituzione:

[math]\egin{cases} -b/(2a)=1 \\ (-b^2+4ac)/(4a)=0 \\ (1-b^2+4ac)/(4a)=1/4 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} b=-2a \\ (-(-2a)^2+4ac)/(4a)=0 \\ (1-(-2a)^2+4ac)/(4a)=1/4 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} b=-2a \\ (4a^2+4ac)/(4a)=0 \\ (1-4a^2+4ac)/(4a)=1/4 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} b=-2a \\ -a+c=0 \\ (1-4a^2+4ac)/a=1 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} b=-2a \\ c=a \\ (1-4c^2+4c^2)/c=1 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} b=-2a \\ c=a \\ 1/c=1 \ \end{cases} => {(b=-2),(a=1),(c=1):}[/math]
;

Pertanto l'equazione sarà 

[math]y=x^2-2x+1[/math]
.
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