Per comprendere meglio lo svolgimento di tale problema è prima necessario richiamare alcuni concetti base come la definizione e le caratteristiche del trapezio, in particolare del trapezio rettangolo e il teorema di Pitagora.
Il trapezio: definizione, caratteristiche e area
Il trapezio è una figura piana costituita da due lati paralleli, chiamati base minore e base maggiore, e da due lati obliqui.Gli elementi caratteristici del trapezio sono appunto le due basi (la base maggiore e la base minore), i lati obliqui e l’altezza.
L’altezza è la distanza tra le due basi (ricordiamo che la distanza è la lunghezza del segmento che congiunge le due basi ed è perpendicolare ad esse, cioè forma con esse due angoli di 90°).
Nel problema si considera un trapezio rettangolo ovvero un trapezio che oltre ad avere due lati paralleli (le basi), possiede uno dei due lati obliqui disposto perpendicolarmente rispetto alle due basi, perciò tale lato formerà due angoli retti (angoli di 90°) con le due basi.
Nel caso del trapezio rettangolo l’altezza corrisponde sempre alla distanza tra le basi e in questo caso coincide anche con la lunghezza del lato obliquo che è disposto perpendicolarmente alle basi.
L’area del trapezio può essere calcolata conoscendo i valori delle due basi e dell’altezza secondo la seguente relazione:
Dove B=base maggiore
b=base minore
h=altezza.
Dalla formula si può notare come la somma delle basi moltiplicata per l’altezza corrisponde all’area di un rettangolo avente come lati la somma delle basi del trapezio e l’altezza del trapezio.
Se si prova a disegnare questo rettangolo e se lo si prova a confrontare con il trapezio di partenza si può notare come, tagliando con un segmento obliquo in due parti il rettangolo, si ottiene proprio il trapezio di partenza, perciò l’area del rettangolo risulterà esse proprio la metà dell’area del rettangolo costruito. Questa precisazione permette di comprendere meglio il motivo della formula che si usa per calcolare l’area del trapezio e permette di comprendere il motivo della divisione per due (tale costruzione è molto semplice nel caso di trapezio rettangolo).Per ulteriori approfondimenti sul trapezio e sulle sue caratteristiche vedi anche qua
Teorema di Pitagora: spiegazione e formula
Nel problema vedremo che sarà necessario utilizzare il teorema di Pitagora, perciò ora richiamiamo brevemente tale teorema.Il teorema di Pitagora è valido solo nel caso di triangoli rettangoli (triangoli che possiedono un angolo retto, due lati sono disposti a 90° tra loro), nel caso di triangoli rettangoli i lati assumono dei nomi specifici:
- cateti: sono i due lati che formano un angolo retto
- ipotenusa: lato che è opposto all’angolo retto.
La formula esprime che il quadrato costruito sull’ipotenusa ha un valore equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
È importante sottolineare che nella parte sinistra dell’uguaglianza compare la somma dei quadrati dei cateti e non la somma di cateti al quadrato, perciò bisognerà prima calcolare i valori dei due cateti, elevarli in modo separato al quadrato e poi sommare questi due valori (la somma va fatta alla fine dopo aver svolto le potenze).
Per trovare il valore dell’ipotenusa sarà poi necessario eseguire la radice quadrata del valore ottenuto dalla somma dei quadrati dei cateti.
Per ulteriori approfondimenti sul teorema di Pitagora vedi anche qua.
Svolgimento del problema
Passiamo ora allo svolgimento del problema.Il problema considera un trapezio rettangolo (che quindi ha un lato obliquo perpendicolare alle due basi, come mostrato in figura) e fornisce i seguenti dati:
La differenza delle basi nel caso di trapezio rettangolo corrisponde proprio al segmento
Il problema richiede il calcolo dell’area del trapezio che si calcola con la seguente formula:
Per calcolare l’area abbiamo bisogno dei valori delle due basi e dell’altezza.
Iniziamo con il calcolo dell’altezza.
Dalla figura si può notare come il triangolo CHB è un triangolo rettangolo, perciò possiamo applicare il teorema di Pitagora:
Perciò:
Eseguiamo quindi la radice quadrata per trovare il valore dell’altezza CH:
Passiamo ora al calcolo delle basi iniziando dal calcolo della base minore sfruttando la relazione fornita tra altezza e base minore.
Sappiamo che:
Perciò:
Noto il valore della base minore possiamo calcolare il valore della base maggiore sfruttando la relazione tra la differenza delle basi.
Come si può vedere dall’immagine la base maggiore è uguale alla somma della base minore più 42cm, quindi:
Ora che abbiamo calcolato tutti gli elementi necessari possiamo calcolare l’area del trapezio:
