Dato il triangolo $ABC$  e un punto  $O$  esterno ad esso, siano  $A’$ , $B’$ ,  $C’$  rispettivamente i simmetrici di  $A$ ,  $B$ ,  $C$  rispetto a  $O$. Dimostra che …

Dato il triangolo $ABC$  e un punto  $O$  esterno ad esso, siano  $A’$ , $B’$ ,  $C’$  rispettivamente i simmetrici di  $A$ ,  $B$ ,  $C$  rispetto a  $O$.

Dimostra che i triangoli $ABC$ e  $A’B’C’$  sono congruenti.

 

congruenza_triangoli

 

 

Svolgimento

Consideriamo i triangoli  $BCO$ e  $B’C’O$ ; essi hanno:

  • $BO = B’O$ per ipotesi (in quanto  $O$  è il centro di simmetria);
  • $\hat{BOC} = \hat{B’OC’}$  perché angoli opposti al vertice;
  • $CO = C’O$  per ipotesi (in quanto  $O$  è il centro di simmetria);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $BCO$ e  $B’C’O$  sono congruenti.

Da ciò si deduce che $BC = B’C’$  perché lati opposti ad angoli congruenti.

 

Ora consideriamo i triangoli $ABO$ e  $A’B’O$. Essi hanno:

  • $AO = A’O$  per ipotesi (in quanto  $O$  è il centro di simmetria);
  • $\hat{AOB} = \hat{A’OB’}$ perché angoli opposti al vertice;
  • $BO = B’O$  per ipotesi (in quanto  $O$  è il centro di simmetria);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $ABO$ e  $A’B’O$ sono congruenti.

Segue che $AB = A’B’$  perché lati opposti ad angoli congruenti.

 

Ora consideriamo i triangoli $ACO$ e  $A’C’O$. Essi hanno:

  • $AO = A’O$  per ipotesi (in quanto O è il centro di simmetria);
  • $\hat{AOC} = \hat{A’OC’}$  perché angoli opposti al vertice;
  • $CO = C’O$  per ipotesi (in quanto  $O$  è il centro di simmetria);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli  $ACO$ e  $A’C’O$  sono congruenti.

Possiamo dedurre quindi che  $AC = A’C’$ .

Di conseguenza, i triangoli  $ABC$ e  $A’B’C’$  sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, avendo tre lati congruenti.

 

 

 

 

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