Nel parallelogramma ABCD, detto O il punto di intersezione delle diagonali, indica con E, F, G, H i punti medi dei segmenti OA, OB, OC, OD. Dimostra che EFGH è un parallelogramma.

Nel parallelogramma ABCD, detto O il punto di intersezione delle diagonali, indica con E, F, G, H i punti medi dei segmenti OA, OB, OC, OD. Dimostra che EFGH è un parallelogramma.

Risoluzione

Per dimostrare che il quadrilatero EFGH è un parallelogramma, dobbiamo dimostrare che due suoi lati opposti siano congruenti e paralleli.

Consideriamo i triangoli AOB e DOC. Sapendo che in un parallelogramma i lati opposti sono congruenti e che le diagonali si tagliano a metà, possiamo affermare che :

$ \bar{AB} ≅ \bar{DC} $

$ \bar{AO} ≅ \bar{OC} $

$ \bar{BO} ≅ \bar{OD} $

Di conseguenza, per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, AOB e DOC sono congruenti.

Consideriamo ora il triangolo HOG: sappiamo che i suoi lati sono la metà dei lati del triangolo DOC, e che con esso vi è un angolo in comune, HOG.

Quindi, per il secondo criterio di similitudine dei triangoli, avendo un angolo congruente e i lati che lo comprendono in proporzione, essi sono simili.

Per le stesse ragioni, possiamo affermare che AOB è simile ad EOF. Ma, poiché AOB = DOC, sarà che HOG è simile a EOF.

Ma dato che sappiamo che i loro vertici cono situati nei punti medi delle diagonali del parallelogramma, possiamo affermare che

$ \bar{HO} ≅ \bar{OF} ≅  1/2 \bar{OB}  $

$ \bar{EO} ≅ \bar{OG} ≅  1/2 \bar{AO}  $

Quindi, i triangoli HOG e EOF sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati congruenti e l’angolo fra essi compreso (opposto al vertice) congruente.

Di conseguenza, anche gli angoli EFO è simile a OHG, opposti a lati congruenti, saranno congruenti.

Per questo motivo, possiamo affermare che essi sono angoli alterni interni, generati da due parallele (EF e HG) tagliate da una trasversale (HF).

Due lati del quadrilatero EFGH sono quindi paralleli; con un ragionamento analogo si dimostra che anche gli altri due lati sono paralleli fra loro. Il quadrilatero è quindi un parallelogramma.

 

 

Commenti

commenti