Sia $ABC$ un triangolo isoscele di base $AB$. Dimostra che la bisettrice dell’angolo esterno …..

Sia  $ABC$  un triangolo isoscele di base  $AB$. Dimostra che la bisettrice dell’angolo esterno di vertice  $C$  è parallela alla base  $AB$.

 

 

Risoluzione

Consideriamo il triangolo isoscele di base  $AB$  in figura. Chiamiamo con  $α$  gli angoli congruenti alla base.

La bisettrice  $b$  divide l’angolo esterno al vertice  $C$  in due angoli congruenti  $β$ .

Dobbiamo dimostrare che la bisettrice è parallela alla base  $AB$ .

Sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è di  $180°$; troviamo quindi l’angolo $ACB$:

$ \hat {ACB} = 180° – 2*α = 180° – 2α $

Consideriamo ora l’angolo piatto in  $C$ , rivolto verso l’interno del triangolo. Esso è formato dai due angoli $β$  congruenti generati dalla bisettrice b e dall’angolo interno al triangolo  $ACB$, che abbiamo trovato in precedenza e che vale   $180° – 2α $ .

Possiamo quindi trovare il valore di   $β$  sottraendo all’angolo piatto l’angolo   $ \hat {ACB} $ e dividendo per 2:

$ β = frac(180° –  \hat {ACB})(2) = frac(180° – (180° – 2α))(2) =  α$

Sappiamo quindi che l’angolo  $β$  è uguale all’angolo  $ α$.

 

L’angolo in  $A$  ( $α$ bianco) è uguale all’angolo  ( $α$  nero) generato dalla bisettrice.

Per questo motivo, possiamo affermare che sono angoli alterni interni generati da una segmento ( $AC$ ) tagliato da due trasversali ($b$  e  $AB$).

La bisettrice  $b$ e la base  $AB$ sono quindi paralleli.

 

 

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