In un rombo $ABCD$ ciascun lato misura $12cm$ e l’angolo in $B$ ha ampiezza $120°$…..

In un rombo  $ABCD$  ciascun lato misura   $12cm$  e l’angolo in  $B$  ha ampiezza $120°$ .  Prendere sui lati $\bar{AB}$ , $\bar{BC}$,  $\bar{CD}$  e  $\bar{AD}$ del rombo rispettivamente i punti  $P$, $Q$, $S$ e $T$ in modo che i segmenti  $\bar{AP}$ , $\bar{BQ}$ ,  $\bar{CS}$  e  $\bar{DT}$  misurino  $2cm$ ciascuno, calcolare il perimetro e l’area del quadrilatero  $PQST$, dopo aver dimostrato che esso è un parallelogramma.

 

 

Risoluzione

Per prima cosa, dimostriamo che il quadrilatero  $PQST$  è un parallelogramma; per farlo, dobbiamo dimostrare che abbia I lati opposti congruenti. Analizziamo i dati che abbiamo:

$\bar{AB} ≅ \bar{BC} ≅ \bar{CD} ≅ \bar{DA} = 12 cm $

( perché lati di un rombo) ;

$\bar{AP} ≅ \bar{BQ} ≅ \bar{CS} ≅ \bar{DT} = 2 cm $

( per ipotesi) ;

Possiamo ricavare quindi, per differenza, le misure dei segmenti :

$\bar{PB} ≅ \bar{QC} ≅ \bar{SD} ≅ \bar{TA} = 12 cm – 2 cm = 10 cm $

$ \hat{B} ≅ \hat{D}$  perché angoli opposti di un rombo;   ( $ \hat{B} ≅ \hat{D} = 120°$  )

$ \hat{A} ≅ \hat{C}$   perché angoli opposti di un rombo;

Prendiamo in considerazione I triangoli $PBQ$  e   $SDT$; essi hanno:

$ \bar{PB} ≅ \bar{SD} = 10 cm$

$ \bar{BQ} ≅ \bar{DT} = 2 cm$

$ \hat{B} ≅ \hat{D} = 120° cm$

Avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruenti, I triangoli  $PBQ$ e $SDT$  sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

Di conseguenza, $ \bar{PQ} ≅ \bar{ST} $, poiché lati opposti ad angoli congruenti.

Abbiamo dimostrato, quindi, che due lati opposti del quadrilatero $PQST$ sono congruenti; con un procedimento analogo, considerando i triangoli  $APT$ e $QCS$ , si dimostra che anche gli altri due lati opposti sono congruenti.

Queste informazioni sono sufficienti per affermare che il quadrilatero in questione è un parallelogramma.

Per determinare il perimetro del parallelogramma, cerchiamo per prima cosa di determinare la lunghezza del lato $ \bar{PT}$;

tracciamo da  $T$  la perpendicolare al lato $ \bar{AB}$  del rombo.

Consideriamo i triangoli $AOD$ e $AKT$ :

 

essi hanno:

  •   $ \hat{AOD} ≅ \hat{AKT}$ perché entrambi angoli retti;
  • $ \hat{PAT} ≅ \hat{ADO} = 60°$

Quindi, per il primo criterio di similitudine dei triangoli,  $AOD$ e $AKT$  sono simili;

possiamo affermare, quindi, che i loro lati sono in proporzione:

$ \bar{TA} : \bar{AD} = \bar{TK} : \bar{AO}$

$ 10 cm : 12 cm = \bar{TK} : \bar{AO}$

Sapendo che l’angolo  $\hatB$ misura $120°$  e che l’angolo $\hatA$   ne misura  $60°$, possiamo affermare che il triangolo  $ABD$  è equilatero, poiché ha gli angoli di  $60°$. Avendo il suo lato, possiamo ricavare la sua altezza, cioè il segmento $ \bar{AO}$:

$\bar{AO} = sqrt(\bar{AB}^2 – \bar{BO}^2) = sqrt(\bar{AB}^2 – (frac(\bar{AB})(2))^2) =$

$ sqrt( 12^2 – (frac(12)(2))^2) = sqrt(144 – 36) = sqrt(108) $

Che possiamo scrivere come $ 6 sqrt3 $ ; quindi:

$ 10 cm : 12 cm = \bar{TK} : 6 sqrt3 cm $

$ \bar{TK} = frac(6 sqrt3 * 10)(12) = 5 sqrt3 cm $

Poiché il triangolo $AKT$  è rettangolo e sappiamo che  $ \bar{TK} = 5 sqrt3 cm$  e  $ \bar{TA} = 10 cm $ , con il teorema di Pitagora possiamo determinare la lunghezza del cateto  $ \bar{AK}$ :

$\bar{AK} = sqrt(\bar{AT}^2 – \bar{TK}^2) = sqrt(10^2 – (5 sqrt3)^2) =$

$ sqrt(100 – 75) = sqrt(25) = 5 $

Possiamo trovare la lunghezza del segmento   $\bar{PK} $ :

$\bar{PK} = \bar{AK} – \bar{AP} = 5 cm – 2 cm = 3 cm $

Poiché anche il triangolo  $TPK$  è rettangolo e sappiamo che $\bar{TK} = 5 sqrt3 cm $  e  $\bar{PK} = 3 cm $, con il teorema di Pitagora possiamo determinare la lunghezza del lato   $\bar{TP} $  :

$\bar{TP} = sqrt(\bar{TK}^2 + \bar{PK}^2) = sqrt((5 sqrt3)^2 + 3^2) =$

$ sqrt( 75 + 9) = sqrt(84) = 2 sqrt(21) $

Per trovare la lunghezza dell’altra coppia di lati del parallelogramma, dobbiamo seguire un procedimento analogo tracciando da  $P$  la perpendicolare al lato   $\bar{BC}$  del rombo:

Consideriamo il triangolo  $PHB$  ; sapendo che l’angolo  $\hat{B}$ misura  $120°$, possiamo affermare che l’angolo  $\hat{PBH}$   misura $60°$, poiché insieme all’angolo $\hat{B}$ forma un angolo piatto. Di conseguenza, il triangolo  $PHB$ è simile al triangolo $AOD$ ;

 

 

infatti essi hanno:

  •   $\hat{AOD} ≅ \hat{PHB}$   perché entrambi angoli retti;
  •  $\hat{PBH} ≅ \hat{ADO} = 60°$

Possiamo quindi mettere i loro lati in proporzione:

$ \bar{PB} : \bar{AD} = \bar{PH} : \bar{AO}$

$ 10 cm :12 cm= \bar{TK} : 6 sqrt3 cm$

$ \bar{PH} = frac(6sqrt3 * 10)(12) = 5 sqrt3 cm $

Determiniamo ora la lunghezza del segmento  $ \bar{HB}$  con il teorema di Pitagora, sapendo che il triangolo  $PHB$ è rettangolo:

$\bar{HB} = sqrt(\bar{PB}^2 – \bar{PH}^2) = sqrt(10^2 – (5 sqrt3)^2) =$

$ sqrt(100 – 75) = sqrt(25) = 5 $

Troviamo ora la lunghezza del segmento  $\bar{HQ}$ :

$\bar{HQ} = \bar{QB} + \bar{HB} = 2 cm + 5 cm = 7 cm $

Determiniamo ora la lunghezza del lato $ \bar{PQ}$  con il teorema di Pitagora, sapendo che il triangolo $PHQ$ è rettangolo:

$\bar{PQ} = sqrt(\bar{PH}^2 + \bar{QH}^2) = sqrt((5 sqrt3)^2 + 7^2) =$

$ sqrt(75 + 49) = sqrt(124) = 2sqrt(31) $

Calcoliamo quindi il perimetro del parallelogramma  $PQST$:

$ P_(PQST) = \bar{ST} + \bar{TP} + \bar{PQ} + \bar{QS} =  $

$ 2 \bar{TP} + 2 \bar{PQ} = 2 * 2 sqrt(21) + 2 * 2 sqrt(31) = $

$ 4 (sqrt(21) + sqrt(31)) cm $

Per determinare l’area del parallelogramma, procediamo determinando prima l’area del rombo e poi sottraendogli l’area dei triangoli  $SDT$ , $TAP$ , $PBQ$  e  $QSC$ .

$ A_(ABCD) =D * d = 2 * \bar{AO} * \bar{DB} = $

$ 2 * 6 sqrt3 * 12 = 144 sqrt3 cm^2 $

Determiniamo l’area del triangolo $PBQ$ , congruente a $SDT$ .

La sua altezza, che cade fuori dal triangolo, è il segmento $\bar{PH}$ , mentre la sua base è  $\bar{QB} $ . La sua area sarà quindi:

$ A_(PBQ) = A_(SDT) = frac(\bar{QB} * \bar{PH})(2) = frac(2 * 5 sqrt3)(2) = 5 sqrt3 cm^2$

Calcoliamo ora l’area del triangolo  $APT$ , congruente a $QSC$ .

La sua altezza, che cade anch’essa fuori dal triangolo, è il segmento $\bar{TK}$ , mentre la sua base è $\bar{AP}$ . La sua area sarà quindi:

$ A_(APT) = A_(QSC) = frac(\bar{AP} * \bar{TK})(2) = frac(2 * 5 sqrt3)(2) = 5 sqrt3 cm^2$

Troviamo ora l’area del parallelogramma:

$ A_(PQST) = A_(ABCD) – [ A_(PBQ) + A_(SDT) + A_(APT) + A_(QSC) ] =  $

$ 144 sqrt3 cm^2 – [5 sqrt3 + 5 sqrt3 + 5 sqrt3 + 5 sqrt3] cm^2 = $

$ (144 sqrt3 – 20 sqrt3) cm^2  = 124 sqrt3  cm^2 $

 

 

 

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