La teoria degli insiemi: cosa studia e i concetti fondamentali
La teoria degli insiemi è un importante branca della logica matematica che analizza ogni aspetto del concetto di insieme.In tale disciplina si definisce insieme un raggruppamento di oggetti aventi una caratteristica in comune. Tale definizione è considerata intuitiva e primitiva, poiché non può essere in alcun modo ricavata da concetti più semplici ed è ottenuta a valle dell'esperienza sensibile. L'insieme, quindi, è considerabile un'idea già insita nella natura umana.
Quando si parla di teoria degli insiemi, ci sono degli elementi che necessariamente devono essere citati. Essi sono gli elementi e i sottoinsiemi. Gli elementi sono gli oggetti presenti all'interno di un insieme o di un sottoinsieme, mentre i sottoinsiemi, cioè un insieme incluso in un altro insieme (ciò significa che ogni elemento dell'insieme contenuto è presente nell'insieme contenente). L'insieme "vocali" può essere considerato, ad esempio, sottoinsieme dell'insieme "alfabeto".
I sottoinsiemi possono essere di diverso tipo. Sono considerati sottoinsiemi propri quelli in cui è presente almeno un elemento nell'insieme contenente che non è presente nell'insieme contenuto. L'esempio precedentemente avanzato è un chiaro esempio di sottoinsieme improprio. Anche l'insieme vuoto può essere considerato un sottoinsieme proprio di qualsiasi insieme. Quando invece l'insieme contenuto corrisponde all'insieme contenente, si è al cospetto di un sottoinsieme proprio
Come si definiscono gli insiemi e le operazioni possibili
Come abbiamo già anticipato, gli insiemi sono dei raggruppamenti di oggetti aventi una caratteristica in comune. Essi possono essere indicati utilizzando diversi modi: a seconda della tipologia degli oggetti contenuti, un tipo di rappresentazione potrebbe essere più indicata per un'applicazione o viceversa.
Ciascun insieme può quindi essere definito:
- attraverso un elencazione, ossia scrivendo in maniera esplicita gli elementi separati da una virgola all'interno delle parentesi graffe. Questa tipologia di scrittura è indicata per insiemi aventi un numero limitato di elementi. Per esempio, l'insieme delle vocali scritte secondo questa metodologia è [math]F={A,E,I,O,U}[/math]
- per caratteristica, cioè indicando tra parentesi la proprietà che lega l'elemento del gruppo in questione. Questa scrittura è indicata per insiemi aventi un elevato numero di elementi. In questo caso, l'insieme delle vocali può essere scritto in questo modo [math]F=[/math]{[math]x|x[/math]è una delle cinque vocali}
- utilizzando i diagrammi di Eulero Venn, ossia esplicitando gli insiemi graficamente
Così come accade per i numeri, anche con gli insiemi è possibile eseguire delle operazioni, le quali restituiscono come risultato degli insiemi aventi delle specifiche caratteristiche. Esse sono:
- l'unione, la quale dà come risultato un insieme formato da tutti gli elementi dei due insiemi generatori. Per esempio, l'insieme "ricette onnivore" può essere considerato come l'unione degli insiemi "ricette vegetariane" e "ricette a base di carne".
- l'intersezione, che consente di ottenere un insieme formato dagli elementi in comune ai due insiemi generatori. L' insieme "ricette americane a base di carne" può essere considerato un insieme intersezione tra l'insieme "ricette americane" e l'insieme "ricette a base di carne"
- la differenza, la quale permette di ottenere un insieme formato dagli elementi dell'insieme minuendo ma non dal sottraendo. L'insieme "ricette vegetariane" può essere visto anche come l'insieme differenza tra le "ricette onnivore" e l'insieme "ricette vegetariane"
- il prodotto cartesiano, che dà come risultato un insieme formato da coppie ordinate prendendo elementi da entrambi gli insiemi
Esercizio svolto sull'insieme dei divisori di 15
Dato l' insieme
I sottoinsiemi sono:
- [math]A={1,3,5,15}[/math]
- [math]B={1,2,3}[/math]
- [math]C={}[/math]
- [math]D={3,5}[/math]
- [math]E={1,3,5,10}[/math]
Svolgimento dell'esercizio
Osservando la lista precedente si può affermare con certezza chePer ulteriori approfondimenti sulla teoria degli insiemi vedi anche qui