Per la risoluzione dell'integrale è conveniente separare la frazione, ottenendo la scrittura seguente:
[math] \frac{2x + 1}{x(x^2 - 1)} = \frac{2x}{x(x^2 - 1)} + \frac{1}{x(x^2 - 1)} [/math]
Nella prima frazione possiamo semplifcare la
[math]x[/math]
:
[math] \frac{2}{x^2 - 1} + \frac{1}{x(x^2 - 1)} [/math]
Procediamo applicando la proprietà di linearità degli integrali, e considerando separatamente le singole frazioni:
[math] \displaystyle \int \frac{2}{x^2 - 1} + \frac{1}{x(x^2 - 1)} dx = 2 \int \frac{1}{x^2 - 1} dx + \int \frac{1}{x(x^2 - 1)} dx [/math]
Consideriamo il primo integrale:
[math] \displaystyle \int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \int \frac{1}{(x+1)(x-1)} dx[/math]
Possiamo procedere scomponendo la frazione in fratti semplici, ovvero cercando una espressione della frazione che abbia la seguente forma:
[math] \frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x - 1} [/math]
dove i coefficienti A e B possono essere ricavati nel seguente modo:
[math] \displaystyle A = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x - 1} = -\frac{1}{2} [/math]
[math] \displaystyle B = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2} [/math]
Avremo quindi la frazione scritta in questo modo:
[math] \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{x+1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1} [/math]
Passiamo ad integrare:
[math] \displaystyle \int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{x+1} dx + \int \frac{\frac{1}{2}}{x - 1} dx = [/math]
[math] \displaystyle = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} [/math]
Questi due integrali possono essere risolti riconducendoci ad un integrale notevole, notando che al numeratore delle frazioni presente la derivata del denominatore; abbiamo quindi:
[math] \displaystyle -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} dx = [/math]
[math] \displaystyle -\frac{1}{2} \\log(|x+1|) + \frac{1}{2} \\log(|x-1|) + c [/math]
applicando le proprietà dei logaritmi:
[math] \displaystyle -\frac{1}{2} \\log(|x+1|) + \frac{1}{2} \\log(|x-1|) + c = \frac{1}{2} \\log(| \frac{x-1}{x+1} |) +c [/math]
Passiamo ora al secondo integrale, la cui risoluzione può essere determinata in modo simile.
Anche in questo caso scomponiamo la frazione in fratti semplici:
[math] \displaystyle \frac{1}{x(x^2 - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1} [/math]
dove i coefficienti A, B e C possono essere ricavati nel seguente modo:
[math] \displaystyle A = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 - 1} = -1 [/math]
[math] \displaystyle B = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{2} [/math]
[math] \displaystyle C = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x(x - 1)} = \frac{1}{2} [/math]
Possiamo quindi scrivere la frazione come:
[math] \displaystyle \frac{1}{x(x^2 - 1)} = \frac{-1}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x + 1} [/math]
e passando agli integrali:
[math] \displaystyle \int \frac{1}{x(x^2 - 1)} dx = - \int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} dx [/math]
La risoluzione di tali integrali può essere effettuata riconducendosi sempre all'integrale notevole; si ha il seguente svolgimento:
[math] \displaystyle - \int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} dx = [/math]
[math] \displaystyle = - \\log(|x|) + 1/2 \\log(|x-1|) + 1/2 \\log(|x+1|) + c [/math]
e applicando le proprietà degli integrali:
[math] \displaystyle - \\log(|x|) + 1/2 \\log(|x-1|) + 1/2 \\log(|x+1|) + c = - \\log(|x|) + 1/2 \\log(| (x-1)(x+1) |) + c [/math]
Per concludere, riportiamo il valore fnale dell'integrale di partenza:
[math] \displaystyle \int \frac{2x + 1}{x(x^2 - 1)} dx = \\log(| \frac{x-1}{x+1} |) - \\log(|x|) + \frac{1}{2} \\log(| (x-1)(x+1) |) + c = [/math]
[math] \\log(|x-1|) - \\log(|x+1|) - \\log(|x|) + 1/2 \\log(|x-1|) + 1/2 \\log(|x+1|) + c = [/math]
[math] 3/2 \\log(|x-1|) - 1/2 \\log(|x+1|) - \\log(|x|) + c [/math]
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