_stan
di _stan
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Per la risoluzione di questo integrale dobbiamo effettuare un cambio di variabile del tipo :

[math] t = \sqrt{x} [/math]

In questo caso va considerato anche cosa accade ai differenziali, in quanto si ha:

[math] \displaystyle t = \sqrt{x} \to 1 dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \to dx = 2 \sqrt{x} dt = 2t dt [/math]

Possiamo procedere quindi con la sostituzione:

[math] \displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} dx = \int \frac{t}{1 + t} 2t dt = 2 \int \frac{t^2}{1 + t} dt [/math]

Proviamo ad aggiungere e sottrarre al numeratore il termine

[math]-1[/math]
:

[math] \displaystyle 2 \int \frac{t^2}{1 + t} dt = 2 \int \frac{t^2 + 1 - 1}{1 + t} dt [/math]

e scomponiamo la frazione in questo modo:

[math] \displaystyle 2 \int \frac{t^2 + 1 - 1}{1 + t} dt = 2 \int \frac{1}{1 + t} + \frac{t^2 - 1}{1 + t} dt [/math]

In questo modo possiamo risolvere i singoli integrali riconducendoci a forme notevoli; nel primo caso abbiamo al numeratore la derivata del denominatore, per cui:

[math] \displaystyle \int \frac{1}{1 + t} dt = \\log(|1+t|) + c [/math]

mentre nel secondo caso riconosciamo al numeratore la differenza di due quadrati, che pu essere scomposta come somma per differenza:

[math] \displaystyle \int \frac{t^2 - 1}{1 + t} dt = \int \frac{(t - 1)(t+1)}{1 + t} dt = \int t-1 dt [/math]

L'integrale è cosi di facile risoluzione, e si ha:

[math] \displaystyle \int t-1 dt = 1/2 t^2 - t [/math]

Quindi, l'integrale di partenza avrà come risultato:

[math] \displaystyle 2 \int \frac{t^2}{1 + t} dt = 2 \\log(|1+t|) + t^2 - 2t + c [/math]

Effettuiamo ora la sostituzione inversa, esprimendo la funzione cosi ottenuta al variare di x:

[math] \displaystyle 2 \\log(|1+t|) + t^2 - 2t + c > [/math]

[math] 2 \\log(|1+\sqrt{x}|) + (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x} + c = 2 \\log(|1+\sqrt{x}|) + x - 2\sqrt{x} + c [/math]

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