Calcolare
[math]int 1/\\sin(2x) dx[/math]
Soluzione 1 Possiamo usare le formule parametriche, ricordando che [math]\\sin(2x) = \frac{2 \text{tg}(x)}{1 + \text{tg}^2(x)}[/math]
L'integrale dunque diventa [math]\int \frac{1 + \text{tg}^2(x)}{2 \text{tg}(x)} dx[/math]
Posto [math]t := \text{tg}(x)[/math]
, da cui [math]dt = (1 + \text{tg}^2(x)) dx[/math]
, si ottiene ovviamente [math]dx = (dt)/(1 + \text{tg}^2(x))[/math]
, pertanto [math]\int \frac{1}{2t} dt = \frac{1}{2} ln(|t|) + c[/math]
da cui [math]\int \frac{1}{\\sin(2x)} dx = \frac{1}{2} ln(|\text{tg}(x)|) + c[/math]
Soluzione 2 Senza usare le formule parametriche, possiamo basarci sull'identità seguente [math]1/(\\sin(2x))=(\\sin^2(x)+\\cos^2(x))/(2\\sin(x)\\cos(x))=1/2tg(x)+1/2cotg(x)[/math]
Per cui [math]int1/(\\sin(2x))dx=1/2int tg(x)dx+1/2int cotg(x)dx=[/math]
[math]=-1/2ln|\\cos(x)|+1/2ln|\\sin(x)|+k[/math]
Usando note proprietà dei logaritmi giungiamo al risultato della sol.1 [math]1/2ln|tg(x)|+k[/math]
FINE
