Calcolare il seguente integrale
[math]int\\logx/(x\sqrt{4+3\\log^{2}x})dx[/math]
Procediamo per sostituzione. Poniamo
[math]\\logx=t[/math]
da cui discende ovviamente [math]x=e^t[/math]
Inoltre risulta [math]dx=de^t=e^tdt[/math]
dal momento che [math]e^t[/math]
che se stessa come derivata. Detto ciò, attuiamo la sostituzione e semplifichiamo subito [math]e^t[/math]
, ottenendo [math]int\\logx/(x\sqrt{4+3\\log^{2}x})dx=intt/(\sqrt(4+3t^2))dt[/math]
Moltiplicando e dividendo per [math]3[/math]
possiamo ricondirci a un integrale dalla forma riconoscibile [math]1/3 \cdot int(3t)/(\sqrt{4+3t^2})dt[/math]
il cui risultato è [math]1/3\sqrt{4+3t^2}+c[/math]
e operando nuovamente la sostituzione, torniamo in [math]x[/math]
[math]1/3\sqrt{4+3ln^2(x)}+c[/math]
Una seconda possibile via di risoluzione poteva esserci suggerita dal fatto che [math]D(ln^2x)=2lnx/x[/math]
L'integrale poteva dunque essere riscritto nel seguente modo [math]int lnx/x \cdot (4+3 \cdot ln^2x)^{-1/2}[/math]
da cui discende il risultato già ottenuto prima. FINE
