Procediamo alla risoluzione dell'equazione come nel caso reale: le uniche differenze che incontreremo saranno nella determinazione delle soluzioni.
Quindi, possiamo applicare la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado
[math] x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} [/math]
, prestando attenzione al fatto che i termini con cui lavoriamo sono
numeri complessi:
[math] z = \frac{ ( 2 + i ) \pm \sqrt{ ( 2 + i )^2 - 4 \cdot (3i - 3)} }{2} = [/math]
Svolgiamo i quadrati e i prodotti:
[math] z = \frac{ ( 2 + i ) \pm \sqrt{ 4 + i^2 + 4i - 12i + 12} }{2} [/math]
Ricordiamo la relazione fondamentale, per cui
[math] i^2 = - 1[/math]
:
[math] z = \frac{ ( 2 + i ) \pm \sqrt{ 4 - 1 + 4i - 12i + 12} }{2} = [/math]
[math] \frac{ ( 2 + i ) \pm \sqrt{ 15 - 8i } }{2} [/math]
A questo punto abbiamo sotto radice un numero complesso in una forma più complicata, che non può essere risolta immediatamente; possiamo procedere cercando un numero complesso che sia equivalente a
[math]\sqrt{ 15 - 8i } [/math]
, ovvero un numero della forma
[math]a + ib[/math]
che elevato al quadrato sia uguale a
[math] 15 - 8i [/math]
.
Impostiamo quindi la seguente relazione:
[math] a + ib = \sqrt{15 - 8i} \to (a + ib)^2 = 15 - 8i [/math]
Procediamo svolgendo il quadrato:
[math] a^2 + (ib)^2 + 2abi = 15 - 8i [/math]
[math] a^2 - b^2 + 2abi = 15 - 8i [/math]
Due numeri complessi sono uguali quando sia le parti immaginarie che le parti reali sono uguali; quindi, per risolvere la nostra relazione uguagliamo le due parti:
[math] \begin{cases} a^2 – b^2 = 15 \\ 2abi = – 8i \end{cases} [/math]
Dalla seconda relazione otteniamo che
[math] ab = - 4 \to b = - 4/a [/math]
Sostituiamo questa espressione nella prima equazione:
[math] a^2 - (- 4/a)^2 = 15 [/math]
Svolgiamo i calcoli e ricaviamo il valore di
[math]a[/math]
:
[math] a^2 - (16)/a^2 = 15 [/math]
[math] a^4 - 16 = 15a^2 [/math]
[math] a^4 - 15a^2 - 16 = 0 [/math]
Risolviamo con la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:
[math] a^2 = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot (-16)} }{2} = [/math]
[math] \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64} }{2} = \frac{15 \pm \sqrt(289) }{2} = [/math]
[math] \frac{15 \pm 17 }{2} [/math]
I possibili valori di
[math] a^2 [/math]
sono quindi
[math]16[/math]
e
[math]-1[/math]
; poiché
[math]a[/math]
deve essere un numero reale, dobbiamo scartare il valore
[math]- 1[/math]
.
Gli unici valori di
[math]a[/math]
possibili sono quindi
[math] \pm \sqrt{16} = \pm 4[/math]
.
Troviamo i relativi valori di
[math]b[/math]
:
[math] a = 4 \to b = - 4/4 = - 1 [/math]
[math] a = -4 \to b = - 4/(-4) = 1 [/math]
Il numero complesso che stavamo cercando è dunque
[math] 4 - i [/math]
o
[math] -4 + i [/math]
.
Entrambi i numero elevati al quadrato forniscono il complesso
[math]15 - 8i[/math]
, quindi possiamo utilizzare qualunque dei due al fine della nostra risoluzione.
Scegliamo il numero positivo, e sostituiamolo nella relazione che individua
[math]z[/math]
:
[math]z = \frac{ ( 2 + i ) \pm \sqrt{ 15 - 8i } }{2} = \frac{ ( 2 + i ) \pm (4 - i) }{2} [/math]
Determiniamo le due soluzioni:
[math] z_1 = \frac{ ( 2 + i ) + (4 - i) }{2} = \frac{ 2 + i + 4 - i }{2} = [/math]
[math] \frac{6}{2} = 3 [/math]
[math] z_2 = \frac{ ( 2 + i ) - (4 - i) }{2} = \frac{ 2 + i - 4 + i }{2} = [/math]
[math] \frac{ -2 + 2i }{2} = - 1 + i [/math]
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