Consideriamo un messaggio proveniente dal canale A; sappiamo che la probabilità che un bit sia uguale a 1 è
[math]p = \frac{7}{16}[/math]
; possiamo indicare con la variabile aleatoria
[math]X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n[/math]
il numero di bit uguali a 1 nel messaggio proveniente dal canale A (ogni variabile
[math]X_i[/math]
è uguale a 1 se il bit i-esimo è 1).
Possiamo affermare che X è una variabile aleatoria binomiale di parametri
[math]p = \frac{7}{16}[/math]
e
[math]n = 1600[/math]
.
Per calcolare la probabilità richiesta dal problema, occorre calcolare:
[math]P(X \leq 750)[/math]
Per farlo possiamo utilizzare l'approssimazione normale; ricordiamo che se
[math]S_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n[/math]
è la somma campionaria, allora la quantità
[math]\frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n grande.
Possiamo procedere nel seguente modo:
[math]P(X \leq 750) = P(X_1 + X_2 + \ldots + X_n \leq 750) = P\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n - np}{\sqrt{n}} \leq \frac{750 - np}{\sqrt{n}}\right) =[/math]
[math]P\left(W \leq \frac{750 - np}{\sqrt{n}}\right)[/math]
Dove con W abbiamo indicato una variabile aleatoria che si comporta approssimativamente come la normale standard.
Procediamo sostituendo i valori numerici:
[math]P\left(W \leq \frac{750 - np}{\sqrt{n}}\right) = P\left(W \leq \frac{750 - 1600 \cdot \frac{7}{16}}{\sqrt{1600}}\right) =[/math]
[math]P\left(W \leq \frac{750 - 700}{\frac{\sqrt{63}}{4} \cdot 40}\right) = P\left(W \leq \frac{50}{19.84}\right) = P\left(W \leq 2.52\right)[/math]
Indichiamo con
[math] \Phi [/math]
la funzione della distribuzione Normale Standard; abbiamo che:
[math]P\left(W \leq 2.52\right) = 1 - P\left(W > 2.52\right) = 1 - \Phi(2.52)[/math]
Dalle tavole possiamo ricavare il valore di
[math] \Phi [/math]
:
[math]P\left(W \leq 2.52\right) = 1 - \Phi(2.52) = 1 - 0.99413 = 0.00587[/math]
Possiamo procedere con un ragionamento simile anche per il secondo punto; in questo caso, indicando con
[math]Y = Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_n[/math]
il numero di bit uguali a 1 nel messaggio proveniente dal canale B, la probabilità cercata è:
[math]P(Y \leq 750)[/math]
Possiamo affermare che Y è una variabile aleatoria binomiale di parametri
[math]p = \frac{1}{2}[/math]
e
[math]n = 1600[/math]
. Per calcolare la probabilità richiesta dal problema, procediamo come in precedenza utilizzando l'approssimazione normale:
[math]P(Y \leq 750) = P(Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_n \leq 750) = P\left(\frac{Y_1 + Y_2 + \ldots + Y_n - np}{\sqrt{n}} \leq \frac{750 - np}{\sqrt{n}}\right) =[/math]
[math]P\left(W \leq \frac{750 - np}{\sqrt{n}}\right) = P\left(W \leq \frac{750 - 1600 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1600}}\right) =[/math]
[math]P\left(W \leq \frac{750 - 800}{20}\right) = P\left(W \leq -2.525\right)[/math]
Indichiamo con
[math] \Phi [/math]
la funzione della distribuzione Normale Standard; abbiamo che:
[math]P\left(W \leq -2.525\right) = 1 - P\left(W > -2.525\right) = 1 - \Phi(-2.525)[/math]
Dalle tavole ricaviamo il valore di
[math] \Phi [/math]
:
[math]P\left(W \leq -2.525\right) = 1 - \Phi(-2.525) = 1 - 0.006 = 0.994[/math]
Anche in questo caso si procede in maniera analoga ai precedenti; questa volta la probabilità da calcolare è la seguente:
[math]P(780 \leq Y \leq 820)[/math]
Utilizziamo l'approssimazione standard:
[math]P(780 \leq Y \leq 820) = P\left(\frac{780 - np}{\sqrt{n}} \leq W \leq \frac{820 - np}{\sqrt{n}}\right) =[/math]
[math]P\left(\frac{780 - 1600 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1600}} \leq W \leq \frac{820 - 1600 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1600}}\right) =[/math]
[math]P\left(\frac{780 - 800}{20} \leq W \leq \frac{820 - 800}{20}\right) \approx P\left(-1.025 \leq W \leq 1.025\right)[/math]
Indicando con
[math] \Phi [/math]
la funzione della distribuzione Normale Standard; abbiamo che:
[math]P(-1.025 \leq W \leq 1.025) = \Phi(1.025) - \Phi(-1.025)[/math]
Dalle tavole di
[math] \Phi [/math]
otteniamo:
[math]\Phi(1.025) - \Phi(-1.025) = 0.8473 - 0.1526 = 0.6946[/math]
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