Ad una stazione ricevente possono giungere messaggi binari da due canali diversi, A e B. In ognuno di questi messaggi i singoli bit possono prendere i valori 0 e 1, a caso e in maniera indipendente. Nei messaggi provenienti dal canale A ogni singolo bit è uguale a 1 con probabilità $7/(16)$ e uguale a zero con probabilità $9/(16)$. Nei messaggi provenienti dal canale B ogni singolo bit è uguale a 1 con probabilità $1/2$ e uguale a zero con probabilità $1/2$. i) Qual è la probabilità che in un messaggio di 1600 bit proveniente dal canale A ci siano più di 750 bit uguali a 1? ii) Per decidere se un messaggio proviene dal canale A o dal canale B usiamo la procedure seguente: se il messaggio contiene più di 750 bit uguali a 1 decidiamo che esso proviene dal canale B. Qual è la probabilità che un messaggio proveniente da B venga effettivamente individuato? iii) Qual è la probabilità che in un messaggio proveniente da B il numero di bit uguali a 1 sia compreso tra 780 e 820?

i) Consideriamo un messaggio proveniente dal canale A; sappiamo che la probabilità che un bit sia uguale a 1 è $p = 7/(16)$; possiamo indicare con la variabile aleatoria $X = X_1 + … + X_n$ il numero di bit uguali a 1 nel messaggio proveniente dal canale A (ogni variabile $X_i$ è uguale a 1 se il bit i-esimo è 1).

Possiamo affermare che X è una variabile aleatoria binomiale di parametri $p = 7/(16)$ e $n = 1600$. Per calcolare la probabilità richiesta dal problema, occorre calcolare:

$ P(X ≥ 750) $

Per farlo possiamo utilizzare l’approssimazione normale; ricordiamo che se $S_n = X_1 + … + X_n$ è la somma campionaria, allora la quantità $frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) $ si comporta come una normale standard per n grande.

Possiamo procedere nel seguente modo:

$ P(X ≥ 750) = P(X_1 + … + X_n ≥ 750) = P(frac(X_1 + … + X_n – np)(σ sqrt(n)) ≥ frac(750 – np)(σ sqrt(n))) = $

$P( W ≥ frac(750 – np)(σ sqrt(n))) $

Dove con W abbiamo indicato una variabile aleatoria che si comporta approssimativamente come la normale standard.

Procediamo sostituendo i valori numerici:

$P( W ≥ frac(750 – np)(σ sqrt(n))) = P( W ≥ frac(750 – 1600 * 7/(16))( sqrt( 7/(16) * 9/(16) ) sqrt(1600))) = $

$P( W ≥ frac(750 – 700)( sqrt(63)/4 * 40)) = P( W ≥ frac(50)(19,84) ) = P( W ≥ 2,52 ) $

Indichiamo con Φ la funzione della distribuzione Normale Standard; abbiamo che:

$P( W ≥ 2,52 ) = 1 – P( W ≤ 2,52 ) = 1 – Φ(2,52) $

Dalle tavole possiamo ricavare il valore di Φ:

$P( W ≥ 2,52 ) = 1 – Φ(2,52) = 1 – 0,99413 = 0,00587 $

ii) Possiamo procedere con un ragionamento simile anche per il secondo punto; in questo caso, indicando con $Y = Y_1 + … + Y_n$ il numero di bit uguali a 1 nel messaggio proveniente dal canale B, la probabilità cercata è:

$ P(Y ≥ 750) $

Possiamo affermare che Y è una variabile aleatoria binomiale di parametri $p’ = 1/2$ e $n = 1600$. Per calcolare la probabilità richiesta dal problema, procediamo come in precedenza utilizzando l’approssimazione normale:

$ P(Y ≥ 750) = P(Y_1 + … + Y_n ≥ 750) = P(frac(Y_1 + … + Y_n – np’)(σ sqrt(n)) ≥ frac(750 – np’)(σ sqrt(n))) = $

$P( W ≥ frac(750 – np’)(σ sqrt(n))) = P( W ≥ frac(750 – 1600 * 1/2)( sqrt( 1/2 * 1/2 ) sqrt(1600))) = $

$P( W ≥ frac(750 – 800)( 20) ) = P( W ≥ frac(-50)(20) ) = P( W ≥ -2,525 ) $

Indichiamo con Φ la funzione della distribuzione Normale Standard; abbiamo che:

$P( W ≥ -2,525 ) = 1 – P( W ≤ -2,525 ) = 1 – Φ(-2,525) $

Dalle tavole ricaviamo il valore di Φ:

$P( W ≥ -2,525 ) = 1 – Φ(-2,525) = 1 – 0,006 = 0,994 $

iii) Anche in questo caso si procede in maniera analoga ai precedenti; questa volta la probabilità da calcolare è la seguente:

$ P( 780 ≤ Y ≤ 820) $

Utilizziamo l’approssimazione standard:

$ P( 780 ≤ Y ≤ 820) = P( frac(780 – np’)(σ sqrt(n)) ≤ W ≤ frac(820 – np’)(σ sqrt(n)) ) = $

$ P( frac(780 – 1600 * 1/2)( sqrt( 1/2 * 1/2 ) sqrt(1600) ) ≤ W ≤ frac(820 – 1600 * 1/2)(sqrt( 1/2 * 1/2 ) sqrt(1600) ) ) = $

$ P( frac(780 – 800)( 20) ) ≤ W ≤ frac(820 – 800)(20) ) ~ P( frac(779,5 – 800)( 20) ) < W < frac(820,5 – 800)(20) ) = $

$ P( -1,025 < W < 1,025 ) $

Indicando con Φ la funzione della distribuzione Normale Standard; abbiamo che:

$ P( -1,025 < W < 1,025 ) = P(W < 1,025) – P(W < -1,025) = Φ(1,025) – Φ(-1,025) $

Dalle tavole di Φ otteniamo:

$ Φ(1,025) – Φ(-1,025) = 0,8473 – 0,1526 = 0,6946 $

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