Da una sezione dell’acquedotto transitano in media ogni giorni 240 metri cubi di acqua, con una varianza pari a 120. i) Calcolare la probabilità che in tre mesi (90 giorni) passino per tale sezione almeno 21500 metri cubi di acqua. ii) Sia Z ~ N( μ , 120); determinare μ e q affinché siano valide entrambe le seguenti espressioni $P(Z ≤ q) = 1/2$, $P(Z ≤ 2μ) = 0,975$

i) Indichiamo con $X_i$ la quantità di acqua che transita per la sezione in un giorno i-esimo. Possiamo supporre che tali variabili aleatorie siano indipendenti ed identicamente distribuite, e che abbiamo media $E[X_i] = 240$ e varianza $σ^2 = 120$.

La probabilità richiesta dal problema è la seguente:

$P(X_1 + … + X_(90) ≥ 21500) = P( S_(90) ≥ 21500)$

Tale probabilità può essere stimata utilizzando l’approssimazione normale; ricordiamo che la quantità $frac(S_n – nμ)(σ*sqrt(n))$ si comporta come una normale standard per n molto grande (con $S_n$ abbiamo indicato la somma campionaria). Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

$ P( S_(90) ≥ 21500) = P( frac(S_(90) – nμ)(σ*sqrt(n)) ≥ frac(21500 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$ P( S_(90) ≥ 21500) = P( W ≥ frac(21500 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Sostituiamo i valori numerici forniti dal problema:

$ P( S_(90) ≥ 21500) = P( W ≥ frac(21500 – 90*240)(sqrt(90)*sqrt(120)) ) = $

$ P( W ≥ frac(21500 – 21600)(60sqrt(3)) ) = $

$P( W ≥ frac(- 100)(60sqrt(3)) ) = P( W ≥ 0,96225) = $

$ 1 – P( W ≤ -0,96225) $

Introducendo la funzione di distribuzione Φ della normale, possiamo determinare l’approssimazione richiesta facendo riferimento ai valori numerici presenti sulle tavole:

$ 1 – P( W ≤ -0,96225) = 1 – Φ( -0,96225) = $

$ Φ(0,96225) = 0,832 $

ii) Se Z è una normale di parametri μ e 120, allora applicando l’approssimazione normale alla prima diseguaglianza otteniamo:

$P(Z ≤ q) = 1/2 to P(frac(Z-μ)(sqrt(120)) ≤ frac(q-μ)(sqrt(120))) = 1/2 $

Tale quantità equivale alla seguente:

$Φ(frac(q-μ)(sqrt(120))) = 1/2 $

dalle tavole della normale standard vediamo che $ 0,5 = Φ(0)$, quindi dalla prima relazione otteniamo:

$ frac(q-μ)(sqrt(120)) = 0 to q = μ$

Allo stesso modo possiamo procedere con la seconda relazione:

$P(Z ≤ 2μ) = 0,975 to P(frac(Z-μ)(sqrt(120)) ≤ frac(2μ-μ)(sqrt(120))) = 0,975 $

e quindi:

$Φ(frac(2μ-μ)(sqrt(120))) = 0,975 $

Dalle tavole della normale standard si ricava che il quantile di ordine 0,975 vale 1,96, ovvero che :

$ 0,975 = Φ(1,96)$

Quindi per trovare il valore di μ basta porre:

$ frac(2μ-μ)(sqrt(120)) = 1,96$

Risolviamo l’equazione:

$ frac(μ)(sqrt(120)) = 1,96 to μ = 1,96 * sqrt(120) = 21,47 $

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