i) Indichiamo con
[math]X_i[/math]
la quantità di acqua che transita per la sezione in un giorno i-esimo. Possiamo supporre che tali variabili aleatorie siano indipendenti ed identicamente distribuite, e che abbiamo media
[math]E[X_i] = 240[/math]
e varianza
[math]\sigma^2 = 120[/math]
.
La probabilità richiesta dal problema è la seguente:
[math]P(X_1 + X_2 + X_{90} \leq 21500) = P(S_{90} \leq 21500)[/math]
Tale probabilità può essere stimata utilizzando l'approssimazione normale; ricordiamo che la quantità
[math]\frac{S_n - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n molto grande (con
[math]S_n[/math]
abbiamo indicato la somma campionaria).
Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:
[math]P(S_{90} \leq 21500) = P\left(\frac{S_{90} - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}} \leq \frac{21500 - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}}\right)[/math]
Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:
[math]P(S_{90} \leq 21500) = P\left(W \leq \frac{21500 - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}}\right)[/math]
Sostituiamo i valori numerici forniti dal problema:
[math]P(S_{90} \leq 21500) = P\left(W \leq \frac{21500 - 90 \cdot 240}{\sqrt{90} \cdot \sqrt{120}}\right) = [/math]
[math]P\left(W \leq \frac{21500 - 21600}{60\sqrt{3}}\right) = [/math]
[math]P\left(W \leq \frac{-100}{60\sqrt{3}}\right) = P\left(W \leq -0.96225\right) = [/math]
[math]1 - P\left(W \leq -0.96225\right)[/math]
Introducendo la funzione di distribuzione
[math] \Phi [/math]
della normale, possiamo determinare l'approssimazione richiesta facendo riferimento ai valori numerici presenti sulle tavole:
[math]1 - P\left(W \leq -0.96225\right) = 1 - \Phi(-0.96225) = [/math]
[math]\Phi(0.96225) = 0.832[/math]
2) Se Z è una normale di parametri μ e 120, allora applicando l'approssimazione normale alla prima diseguaglianza otteniamo:
[math]P(Z \leq q) = \frac{1}{2} \quad \to \quad P\left(\frac{Z-\mu}{\sqrt{120}} \leq \frac{q-\mu}{\sqrt{120}}\right) = \frac{1}{2}[/math]
Tale quantità equivale alla seguente:
[math]\Phi\left(\frac{q-\mu}{\sqrt{120}}\right) = \frac{1}{2}[/math]
Dalle tavole della normale standard vediamo che
[math]0.5 = \Phi(0)[/math]
, quindi dalla prima relazione otteniamo:
[math]\frac{q-\mu}{\sqrt{120}} = 0 \quad \to \quad q = \mu[/math]
Allo stesso modo possiamo procedere con la seconda relazione:
[math]P(Z \leq 2\mu) = 0.975 \quad \to \quad P\left(\frac{Z-\mu}{\sqrt{120}} \leq \frac{2\mu-\mu}{\sqrt{120}}\right) = 0.975[/math]
e quindi:
[math]\Phi\left(\frac{2\mu-\mu}{\sqrt{120}}\right) = 0.975[/math]
Dalle tavole della normale standard si ricava che il quantile di ordine 0.975 vale 1.96, ovvero che:
[math]0.975 = \Phi(1.96)[/math]
Quindi per trovare il valore di μ basta porre:
[math]\frac{2\mu-\mu}{\sqrt{120}} = 1.96[/math]
Risolviamo l'equazione:
[math]\frac{\mu}{\sqrt{120}} = 1.96 \quad \to \quad \mu = 1.96 \cdot \sqrt{120} = 21.47[/math]
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