_stan
di _stan
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Supponiamo di avere due dadi, e osserviamo tutte le possibili uscite a?nch il numero risultante dalle due facce sia 6; otteniamo il seguente insieme di coppie:

{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}

Allo stesso modo, osserviamo tutti i casi possibili a?nch si veri?chi il punteggio 7:

{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

In?ne, il punteggio 9 si realizza al veri?carsi di una delle seguenti coppie:

{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}

Poich linsieme di tutte le possibili coppie che possono uscire 36, abbiamo esattamente la probabilit

[math]p = frac(1)(36)[/math]
che esca una determinata coppia di numeri.

Nel caso di punteggio pari a sei, le coppie ammissibili per lottenimento di tale punteggio sono 5; di conseguenza, la probabilit di ottenere il punteggio 6 data da:

[math] P({6}) = 5 \cdot frac(1)(36) = frac(5)(36) [/math]

Allo stesso modo, possiamo calcolare le probabilit che si veri?chino i punteggi 7 e 9:

[math] P({7}) = 6 \cdot frac(1)(36) = frac(6)(36) = 1/6 [/math]

[math] P({9}) = 4 \cdot frac(1)(36) = frac(4)(36) = 1/9 [/math]

Avendo trovato le probabilit del veri?carsi di ogni singolo evento, possiamo ricavare la probabilit che in un determinato lancio di veri?chi un punteggio di 6, o un punteggio di 7 o un punteggio di 9:

[math]P({6} ? {7} ? {9}) = P({6}) + P({7}) + P({9}) = [/math]

[math]frac(5)(36) + 1/6 + 1/9 = frac(15)(36) = frac(5)(12) [/math]

Possiamo modellare il nostro problema utilizzando una variabile aleatoria ausiliaria X binomiale di parametri n = 120 (numero di lanci) e

[math]p = frac(5)(12)[/math]
(probabilit di successo).

Calcoliamo media e varianza di X applicando le formule note:

[math]E[X] = np = 120 \cdot frac(5)(12) = 50 [/math]

[math]Var[X] = np(1-p) = 120 \cdot frac(5)(12) \cdot (1 - frac(5)(12)) = 350 [/math]

Per determinare la probabilit richiesta dal problema possiamo utilizzare lapprossimazione normale: se ad X sottraiamo la sua media e dividiamo per la sua deviazione standard otteniamo una variabile aleatoria che si comporta approssimativamente come una normale standard:

[math]P(X ? 70) = P(X > 69,5) = 1 - P(X ? 69,5) = 1 - P( frac(X - E[X])(\sqrt{Var(X)}) ? frac(69,5 - E[X]) (\sqrt{Var(X)}) ) = [/math]

[math] 1 - ?( frac(69,5 - E[X])(\sqrt{Var(X)}) ) = 1 - ?( frac(69,5 - 50)(\sqrt(350))) = 1 - ?( 1,04) [/math]

Il valore della funzione di distribuzione della normale standard pu essere ricavato dalle apposite tavole; si ottiene:

[math]P(X ? 70) = 1 - ?( 1,04) = 1 - 0,8508 = 0,1492 [/math]

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