1) Indichiamo con
[math]X_i[/math]
l'i-esimo componente; abbiamo per n = 16 che la media e la deviazione standard di ciascun componente valgono:
[math]E[X_i] = \mu = 100 [/math]
[math]\sqrt{Var[X_i]} = \sigma = 20 [/math]
Dal teorema del limite centrale sappiamo che la quantità
[math]\frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n grande, dove con
[math]S_n[/math]
abbiamo indicato la somma campionaria.
Considerando che la probabilità richiesta è:
[math] P(\bar{X}_n
possiamo procedere nel modo seguente:
[math] P(\bar{X}_n
[math] P\left(S_n
Se indichiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard, abbiamo:
[math] P\left(S_n
Dai dati del problema sappiamo che:
[math] E[S_n] = n \cdot E[X_i] = 16 \cdot 100 = 1600 [/math]
[math] \sqrt{Var[X_i]} = 20 [/math]
Quindi possiamo procedere sostituendo i valori numerici:
[math] P\left(S_n
[math] P\left(W
Introduciamo la funzione
[math] \Phi [/math]
, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:
[math] P\left(W
Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare il valore numerico di
[math] \Phi [/math]
:
[math] \Phi(0.8) = 0.7881 [/math]
2) Per il secondo punto possiamo procedere in maniera analoga alla precedente; questa volta la probabilità da calcolare è la seguente:
[math]P(98 \leq \bar{X}_n \leq 104) [/math]
Ovvero:
[math]P(98 \leq \frac{1}{n} \cdot S_n \leq 104) = P(98n \leq S_n \leq 104n)[/math]
Procediamo applicando le regole per l'approssimazione normale:
[math] P(98n \leq S_n \leq 104n) = [/math]
[math]P\left(\frac{98n - E[S_n]}{\sqrt{n}} \leq \frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{n}} \leq \frac{104n - E[S_n]}{\sqrt{n}}\right) = [/math]
[math] P\left(\frac{98n - E[S_n]}{\sqrt{n}} \leq W \leq \frac{104n - E[S_n]}{\sqrt{n}}\right) = [/math]
Sostituiamo i valori numerici trovati precedentemente:
[math] P\left(\frac{98 \cdot 16 - 1600}{20 \cdot 4} \leq W \leq \frac{104 \cdot 16 - 1600}{20 \cdot 4}\right) = [/math]
[math]P\left(\frac{-32}{80} \leq W \leq \frac{64}{80}\right) = [/math]
[math] P(-0.4 \leq W \leq 0.8) = P(W \leq 0.8) - P(W \leq -0.4) [/math]
Come in precedenza, introducendo la funzione
[math] \Phi [/math]
abbiamo:
[math] P(W \leq 0.8) - P(W \leq -0.4) = \Phi(0.8) - [1 - \Phi(0.4)] [/math]
Dalle tabelle otteniamo il valore numerico:
[math] \Phi(0.8) - [1 - \Phi(0.4)] = 0.6554 - 1 + 0.7881 = 0.4435 [/math]
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