_stan
di _stan
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  1. Supponiamo che μ = 12, Utilizzando l’approssimazione normale, calcolare la probabilità che la differenza in valore assoluto tra la variabile aleatoria
    [math] \bar{X}_{100} [/math]
    e μ sia più piccola di η = 2;
  2. Supponiamo che la media μ delle variabili aleatorie non sia nota. Avendo rilevato un aumento di peso medio x¯100=14,5, calcolare un intervallo di confidenza al livello 0,9 per la media μ

1) La probabilità richiesta dal problema è la seguente:

[math]P( | \bar{X}_{100} - \mu |

Dai risultati dell'approssimazione sappiamo che la quantità

[math]\frac{S_n - E[S_n]}{\sigma \sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n grande, dove con
[math]S_n[/math]
si indica la somma campionaria.
Tale quantità può anche essere scritta come:
[math]\frac{\bar{S}_n - E[\bar{S}_n]}{\text{Var}[\bar{S}_n]}[/math]
, e anche tale quantità si comporta come una normale standard, che possiamo indicare con W.

Procediamo nel modo seguente:

[math] P(|\bar{X}_{100} - 12|

[math] P\left(|W|

Sapendo che le variabili aleatorie

[math]X_i[/math]
hanno varianza 25, possiamo calcolare la varianza della media campionaria:

[math]\text{Var}(\bar{X}_{100}) = \frac{1}{n} \cdot \text{Var}(X_i) = \frac{1}{100} \cdot 25 = \frac{25}{100} [/math]

[math]\sqrt{\text{Var}(\bar{X}_{100})} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} [/math]

Sostituiamo nell'espressione precedente i valori numerici:

[math] P\left(|W|

[math]P(-4

Introducendo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard, abbiamo:

[math] P(W

Dalle tabelle della distribuzione normale standard possiamo approssimare nel modo seguente:

[math] 2\Phi(4) - 1 \approx 2 - 1 = 1[/math]

2) Dato che la media del campione non è conosciuta, noto che un intervallo di confidenza per la media della distribuzione è della forma seguente:

[math] I = [\bar{x}_n - \frac{z}{\sqrt{n}} \cdot \sigma_{1-\frac{\alpha}{2}}, \bar{x}_n - \frac{z}{\sqrt{n}} \cdot \sigma_{1-\frac{\alpha}{2}}] [/math]

dove

[math] \Phi [/math]
è la deviazione standard del campione,
[math] \Phi_{1-\frac{\alpha}{2}} [/math]
è il quantile di ordine
[math] 1-\frac{\alpha}{2} [/math]
della distribuzione normale standard e
[math] \bar{x}_n [/math]
è la media campionaria.

Analizziamo i dati che fornisce il problema:

[math]n = 100[/math]

[math]\bar{x}_{100} = 14,5[/math]

[math]\sigma^2 = 25 \quad \text{o} \quad \sigma = 5 [/math]

[math]1-\alpha = 0,9 \quad \text{o} \quad 1-\frac{\alpha}{2} = 0,95[/math]

Dalla tabella dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine

[math] 1-\frac{\alpha}{2} [/math]
è 1,65. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l'intervallo di confidenza richiesto:

[math] I = [14,5 - \frac{5}{\sqrt{100}} \cdot 1,65, 14,5 - \frac{5}{\sqrt{100}} \cdot 1,65] = [/math]

[math] [14,5 - \frac{5}{10} \cdot 1,65, 14,5 - \frac{5}{10} \cdot 1,65] = [/math]

[math] [14,5 - 0,5 \cdot 1,65; 14,5 - 0,5 \cdot 1,65] = [/math]

[math] [13,675; 15,325][/math]

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