1) Consideriamo le variabili aleatorie
[math]X_1, X_2, \ldots, X_n[/math]
con n = 900, che assumono valore 1 se il valore del bit i-esimo è uguale a 1, e 0 altrimenti. Indichiamo con X il numero di bit del messaggio che sono uguali a 1; allora X può essere definita come:
[math]X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n[/math]
e in particolare, poiché le variabili
[math]X_i[/math]
sono variabili di Bernoulli di parametro
[math]7/16[/math]
, allora la variabile X ha legge Binomiale di parametri n = 900 e p.
Utilizzando le formule note possiamo ricavare la media e la varianza di X:
[math]E[X] = np = 900 \cdot 7/16 = 393,75[/math]
[math]Var[X] = np(1-p) = 900 \cdot 7/16 \cdot 9/16 = 221,484[/math]
La probabilità richiesta dal problema è quindi la seguente:
[math]P(X \geq 420)[/math]
Sfruttiamo i risultati del teorema del limite centrale; sappiamo che la quantità
[math]\frac{(X - E[X])}{\sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n grande, quindi possiamo procedere come segue:
[math]P(X \geq 420) = P\left(\frac{(X - E[X])}{\sqrt{n}} \geq \frac{(420 - E[X])}{\sqrt{n}}\right) = [/math]
Se indichiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard abbiamo:
[math]P(X \geq 420) = P\left(W \geq \frac{(420 - E[X])}{\sqrt{n}}\right)[/math]
Sostituiamo i valori numerici:
[math]P(X \geq 420) = P\left(W \geq \frac{(420 - 393,75)}{\sqrt{\frac{63}{256}} \cdot \sqrt{900}}\right) = [/math]
[math]P\left(W \geq \frac{26,25}{14,88}\right) = P\left(W \geq 1,76\right)[/math]
Introduciamo la funzione Phi (
[math]\Phi[/math]
), ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:
[math]P(W \geq 1,76) = 1 - P(W \leq 1,76) = 1 - \Phi(1,76)[/math]
Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori di
[math]\Phi[/math]
:
[math]1 - \Phi(1,76) = 1 - 0,96 = 0,04[/math]
2) Per il secondo punto possiamo procedere in maniera analoga alla precedente; questa volta la probabilità da calcolare è la seguente:
[math]P(390 \leq X \leq 410)[/math]
Procediamo applicando le regole per l'approssimazione normale:
[math]P(390 \leq X \leq 410) = P\left(\frac{(390 - E[X])}{\sqrt{n}} \leq \frac{(X - E[X])}{\sqrt{n}} \leq \frac{(410 - E[X])}{\sqrt{n}}\right)[/math]
[math]P\left(\frac{(390 - E[X])}{\sqrt{n}} \leq W \leq \frac{(410 - E[X])}{\sqrt{n}}\right)[/math]
Sostituiamo i valori numerici:
[math]P\left(\frac{(390 - 393,75)}{\sqrt{\frac{63}{256}} \cdot \sqrt{900}} \leq W \leq \frac{(410 - 393,75)}{\sqrt{\frac{63}{256}} \cdot \sqrt{900}}\right) = [/math]
[math]P\left(\frac{-3,75}{14,88} \leq W \leq \frac{16,75}{14,88}\right) = [/math]
[math]P\left(W \leq \frac{16,75}{14,88}\right) - P\left(W \leq \frac{-3,75}{14,88}\right) = [/math]
[math]P\left(W \leq 1,09\right) - P\left(W \leq -0,25\right)[/math]
Come in precedenza, introducendo la funzione
[math]\Phi[/math]
abbiamo:
[math]P\left(W \leq 1,09\right) - P\left(W \leq -0,25\right) = \Phi(1,09) - \left[1 - \Phi(0,25)\right][/math]
Dalle tavole otteniamo i valori numerici:
[math]\Phi(1,09) - \left[1 - \Phi(0,25)\right] = 0,86 - 1 + 0,59 = 0,45[/math]
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