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di _stan
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In un mazzo di carte normali, la probabilità di estrarre una carta di quadri è esattamente 0,25. Consideriamo una variabile aleatoria X che indica il numero delle carte di quadri ottenute in 100 estrazioni con rimpiazzo; sappiamo dalla probabilità che X è una variabile aleatoria con legge binomiale di parametri n = 100 e p = 0,25.

La media di una variabile aleatoria binomiale è

[math]E[X] = np = 100 \cdot 0,25 = 25[/math]
, mentre la varianza vale:
[math]Var(X) = np(1-p) = 100 \cdot 0,25 \cdot 0,75 = 18,75[/math]
.

Per calcolare la probabilità del problema potremmo determinare il valore di

[math]P(X = 20)[/math]
, ma i calcoli che ne deriverebbero sarebbero troppo complessi, a causa dei coefficienti binomiali e dei fattoriali.

Possiamo quindi procedere utilizzando la statistica e l'approssimazione normale, fornita dal teorema del limite centrale.

In particolare, poiché X assume solo valori interi, la probabilità da noi cercata può essere espressa nel seguente modo:

[math] P(X = 20) = P(19,5

Ricordiamo che per l'approssimazione normale, se a X togliamo la sua media e dividiamo tutto per la sua deviazione standard, otteniamo una variabile aleatoria che, per n molto grande, si comporta come una normale standard.

Quindi possiamo procedere nel seguente modo:

[math] P(19,5

[math]P\left(\frac{19,5 - E[X]}{\sqrt{Var(X)}}

Indichiamo con W la normale standard in questione e sostituiamo i valori numerici di media e varianza:

[math] P\left(\frac{19,5 - 25}{\sqrt{18,75}}

[math] P(-1,2702

Se indichiamo con

[math] \Phi [/math]
la funzione di distribuzione della normale standard, possiamo scrivere:

[math] P(-1,2702

[math] -\Phi(1,0392) + \Phi(1,2702) = \Phi(1,2702) - \Phi(1,0392) [/math]

Possiamo ricavare i valori della funzione

[math] \Phi [/math]
dalla tabella della normale standard; si ottiene:

[math] \Phi(1,2702) - \Phi(1,0392) = 0,898 - 0,8508 = 0,0472 [/math]

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