Si esamina un campione di n = 100 componenti elettronici e si trova che la media campionaria del tempo di vita dei componenti è $bar x_n = 50$ (mesi). Ipotizzando che il tempo di vita di un componente del campione sia una variabile aleatoria X con varianza $σ^2 = 144$ e media μ incognita. i) si trovi un intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,95 per la media; ii) supponendo che X ~ N(50, 144), calcolare $P(44 ≤ X ≤ 62)$

i) Un intervallo di confidenza al livello 1 – α per la media incognita è della forma seguente:

$ I = [bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) , bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) ] $

dove $σ$ è la deviazione standard del campione, $ϕ_(1-α/2) $ è il quantile di ordine $1-α/2$ della distribuzione normale standard e $bar x_n$ è la media campionaria.

Analizziamo i dati che fornisce il problema:

$n = 100$

$bar x_n = 50$

$σ^2 = 144 to σ = 12 $

$1-α = 0,95 to 1-α/2 = 0,975$

Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine $1-α/2$ è 1,96. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l’intervallo di confidenza richiesto:

$ I = [ 50 – frac(12)(sqrt(100)) * 1,96 ; 50 + frac(12)(sqrt(100)) * 1,96 ] = [ 50 – frac(12)(10) * 1,96 ; 50 + frac(12)(10) * 1,96 ] = $

$ [ 50 – 2,352 ; 50 + 2,352 ] = [47,648 ; 52,352]$

ii) La probabilità da stimare è la seguente:

$P(44 ≤ X ≤ 62) $

Dal teorema del limite centrale sappiamo che se ad una variabile aleatoria sottraiamo la sua media e dividiamo tutto per la sua deviazione standard otteniamo una variabile aleatoria (che possiamo indicare con W) che si comporta come una normale standard per n abbastanza grande.

Procediamo applicando le regole per l’approssimazione normale:

$ P(44 ≤ X ≤ 62) = P( frac(44 – E[X])(σ) ≤ frac(X – E[X])(σ) ≤ frac(62 – E[X])(σ) ) = $

$ P( frac(44 – E[X])(σ) ≤ W ≤ frac(62 – E[X])(σ) ) = $

Sostituiamo i valori numerici:

$ P( frac(44 – 50)(12) ≤ W ≤ frac(62 – 50)(12) ) = P( frac(-6)(12) ≤ W ≤ frac(12)(12) ) = $

$ P( -0,5 ≤ W ≤ 1 ) = P(W ≤ 1) – P(W ≤ -0,5) $

Introducendo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard, abbiamo:

$ P(W ≤ 1) – P(W ≤ -0,5) = Φ(1) – Φ(-0,5) = Φ(1) – [1 – Φ(0,5)] $

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