1) Un intervallo di confidenza al livello 1 - α per la media incognita della forma seguente:
[math] I = \left[\bar{x}n - \frac{σ}{\sqrt{n}} \cdot z{(1-α/2)} , \bar{x}n + \frac{σ}{\sqrt{n}} \cdot z{(1-α/2)}\right] [/math]
dove
[math] \Phi [/math]
è la deviazione standard del campione, [math] z_{(1-\alpha/2)} [/math]
è il quantile di ordine [math] 1-\alpha/2 [/math]
della distribuzione normale standard e [math] \bar{x}_n [/math]
è la media campionaria.Analizziamo i dati che fornisce il problema:
[math]n = 100[/math]
[math]\bar{x}_n = 50[/math]
[math]\Phi^2 = 144 \quad \text{o} \quad \Phi = 12 [/math]
[math]1-\alpha = 0,95 \quad \to \quad 1-\alpha/2 = 0,975[/math]
Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine 1-α/2 è 1,96.
Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l'intervallo di confidenza richiesto:
[math] I = \left[ 50 - \frac{12}{\sqrt{100}} \cdot 1,96 ; 50 + \frac{12}{\sqrt{100}} \cdot 1,96 \right] = \left[ 50 - \frac{12}{10} \cdot 1,96 ; 50 + \frac{12}{10} \cdot 1,96 \right] = [/math]
[math] \left[ 50 - 2,352 ; 50 + 2,352 \right] = [47,648 ; 52,352][/math]
2) La probabilità da stimare è la seguente:
[math]P(44 \le X \le 62) [/math]
Dal teorema del limite centrale sappiamo che se ad una variabile aleatoria sottraiamo la sua media e dividiamo tutto per la sua deviazione standard otteniamo una variabile aleatoria (che possiamo indicare con W) che si comporta come una normale standard per n abbastanza grande.
Procediamo applicando le regole per l'approssimazione normale:
[math] P(44 \le X \le 62) = P\left(\frac{44 - E[X]}{\sigma} \le \frac{X - E[X]}{\sigma} \le \frac{62 - E[X]}{\sigma}\right) = [/math]
[math] P\left(\frac{44 - E[X]}{\sigma} \le W ≤ \frac{62 - E[X]}{\sigma}\right) = [/math]
Sostituiamo i valori numerici:
[math] P\left(\frac{44 - 50}{12} \le W \le \frac{62 - 50}{12}\right) = P\left(\frac{-6}{12} \le W \le \frac{12}{12}\right) = [/math]
[math] P(-0,5 \le W \le 1) = P(W \le 1) - P(W \le -0,5) [/math]
Introducendo la funzione
[math] \Phi [/math]
, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard, abbiamo:
[math] P(W \le 1) - P(W \le -0,5) = \Phi(1) - \Phi(-0,5) = \Phi(1) - [1 - \Phi(0,5)] [/math]
