Consideriamo una successione di variabili aleatorie bernoulliane
[math]{X_n}[/math]
per cui
[math]X_i[/math]
assume il valore 1 se li-esimo lancio della moneta fornisce il valore testa, e 0 altrimenti.
Indicando con
[math]S_n[/math]
la somma campionaria, ovvero
[math]S_n = X_1 + + X_n[/math]
, abbiamo che tale somma indica il numero di teste uscite in n lanci, e tale variabile aleatoria ha una legge binomiale di parametri n e p = 0,5.
Dalle formule note possiamo ricavare media e varianza della somma campionaria:
[math]E[S_n] = np = n/2 [/math]
[math]Var[S_n] = np(1-p) = n \cdot 0,5 \cdot 0,5 = n/4 [/math]
La probabilità richiesta dal problema può essere calcolata utilizzando l'approssimazione normale fornita dal teorema del limite centrale.
Proviamo a riscrivere tale probabilità, togliendo il valore assoluto:
[math] P\Big(| \frac{S_n}{n} - \frac{1}{2}| \le 0,05\Big) = P\Big( -0,05 \le \frac{S_n}{n} - \frac{1}{2} \le 0,05\Big) = P\Big( \frac{1}{2} - 0,05 \le \frac{S_n}{n} \le 0,05 + \frac{1}{2}\Big) [/math]
[math] P\Big( 0,45 \le \frac{S_n}{n} \le 0,55\Big) = P\Big( 0,45 n \le S_n \le 0,55 n\Big) [/math]
Sottraendo ai membri della disuguaglianza la media di
[math]S_n[/math]
, e dividendo tutto per la sua deviazione standard otteniamo una variabile aleatoria W approssimabile con una normale standard, che deve essere compresa in un cero intervallo:
[math] P\Big( 0,45 n \le S_n \le 0,55 n\Big) = P\Big( \frac{0,45 n - E[S_n]}{ \sqrt{Var(S_n)} } \le W \le \frac{0,55 n - E[S_n]}{ \sqrt{Var(S_n)} }\Big) [/math]
Sostituiamo i valori numerici:
[math] P\Big( \frac{0,45n - \frac{n}{2}}{ \sqrt{n/4} } \le W \le \frac{0,55 n - \frac{n}{2} }{ \sqrt{n/4} }\Big) = [/math]
[math] P\Big( W \le \frac{0,55 n - \frac{n}{2} }{ \sqrt{n/4} }\Big) - P\Big( W \le \frac{0,45 n - \frac{n}{2}}{ \sqrt{\frac{n}{4}} }\Big) [/math]
Possiamo scrivere tali disuguaglianze introducendo la funzione
[math] \Phi [/math]
, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:
[math] \Phi\left(\frac{0.55n - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}\right) - \Phi\left(\frac{0.45n - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}\right) [/math]
Proviamo a riscrivere tali funzioni, in modo che ottengano una forma più facilmente trattabile:
[math]\Phi\left(\frac{0,55 n - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}\right) - \Phi\left(\frac{0,45 n - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}}\right) =[/math]
[math]\Phi\left(\frac{1,1 n - n}{\sqrt{n}}\right) - \Phi\left(\frac{0,9 n - n}{\sqrt{n}}\right) =[/math]
[math]\Phi\left(\frac{0,1 n}{\sqrt{n}}\right) - \Phi\left(\frac{-0,1 n}{\sqrt{n}}\right) =[/math]
[math]\Phi(0,1 \sqrt{n}) - \Phi(-0,1 \sqrt{n}) = 2 \Phi(0,1 \sqrt{n}) - 1[/math]
Volendo rendere tale quantità maggiore o uguale a 0,95, dobbiamo cercare sulla tabella della distribuzione normale standard il valore di
[math]\Phi[/math]
tale che:
[math]2 \Phi(0,1 \sqrt{n}) - 1 \geq 0,95 \quad \to \quad \Phi(0,1 \sqrt{n}) \geq \frac{1,95}{2} = 0,975[/math]
Dato che il quantile di
[math]\Phi[/math]
di ordine 0,975 è 1,96 e poiché la funzione
[math]\Phi[/math]
è una funzione crescente, dobbiamo porre:
[math]0,1 \sqrt{n} \geq 1,96 \quad \to \quad \sqrt{n} \geq 19,6[/math]
Risolvendo la disequazione si ottiene
[math]n \geq 385[/math]
.
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