1) Sappiamo che la forma generale della disuguaglianza di Chebyshev per una variabile aleatoria X con media E[X] e varianza Var(X) è la seguente:
[math]P(|X - E[X]| \geq \epsilon) \leq \frac{{Var(X)}}{{\epsilon^2}}[/math]
Nel nostro caso, poiché la media di
[math]X_i[/math]
è 2, e conosciamo anche la sua varianza, possiamo applicare la formula precedente, considerando ε = 5:
[math]P(|X_1 - 2| \geq 5) \leq \frac{{Var(X_1)}}{{5^2}} = \frac{4}{25}[/math]
2) Nel secondo caso possiamo proseguire come in precedenza; questa volta, però, dobbiamo calcolare la media e la varianza di
[math]\bar{X}_{10}[/math]
:
[math]E[\bar{X}_{10}] = E\left[\frac{1}{n}(X_1 + \ldots + X_{10})\right] = \frac{1}{n}E[X_1 + \ldots + X_{10}] = \frac{1}{n}(E[X_1] + \ldots + E[X_{10}]) = \frac{1}{n} \cdot (n \cdot E[X_i]) = E[X_i] = 2[/math]
[math]Var[\bar{X}_{10}] = Var\left[\frac{1}{n}(X_1 + \ldots + X_{10})\right] = \frac{1}{n^2}Var[X_1 + \ldots + X_{10}] = \frac{1}{n^2}(Var[X_1] + \ldots + Var[X_{10}]) = \frac{1}{n^2} \cdot (n \cdot Var[X_i]) = \frac{1}{n} \cdot Var[X_i] = \frac{4}{10}[/math]
Procediamo sostituendo tali valori nell'espressione generale:
[math]P(|\bar{X}_{10} - 2| \geq 5) \leq \frac{{Var(\bar{X}_{10})}}{{5^2}} = \frac{4}{125}[/math]
3) Ricordiamo che uno dei risultati derivanti dal teorema del limite centrale è il fatto che la quantità
[math]\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n molto grande.
Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:
[math]P(\bar{X}_{100} \lt 2.3) = P\left(\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \lt \frac{2.3 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right) [/math]
Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:
[math]P(\bar{X}_{100} \lt 2.3) = P\left(W \lt \frac{2.3 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right) [/math]
Il problema fornisce tutti i dati necessari; sostituiamo i valori numerici:
[math] P(\bar{X}_{100} \lt 2.3) = P\left(W \lt \frac{2.3 - 2}{2/\sqrt{100}}\right) = P\left(W \lt \frac{0.3}{2/10}\right) = P\left(W \lt \frac{3}{2}\right) [/math]
Introduciamo la funzione
[math] \Phi [/math]
, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:
[math] P\left(W \lt \frac{3}{2}\right) = \Phi\left(\frac{3}{2}\right) [/math]
Dalle tabelle della normale standard p
ossiamo ricavare i valori numerici di
[math] \Phi [/math]
:
[math] \Phi\left(\frac{3}{2}\right) = 0.93319 [/math]
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