1) Un intervallo di confidenza per la media della distribuzione della forma seguente:
[math] I = [\bar{x}n - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot z{1-\frac{\alpha}{2}}, \bar{x}n + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot z{1-\frac{\alpha}{2}}] [/math]
dove
[math]\sigma[/math]
è la deviazione standard del campione, [math]z_{1-\frac{\alpha}{2}}[/math]
è il quantile di ordine [math]1-\frac{\alpha}{2}[/math]
della distribuzione normale standard e [math]\bar{x}_n[/math]
è la media campionaria.Analizziamo i dati che fornisce il problema:
[math]n = 100[/math]
[math]\bar{x}_n = 80[/math]
[math]\sigma^2 = 16 \quad \text{o} \quad \sigma = 4[/math]
[math]1-\alpha = 0,90 \quad \text{o} \quad 1-\frac{\alpha}{2} = 0,95[/math]
Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine
[math]1-\frac{\alpha}{2}[/math]
è 1,65. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l'intervallo di confidenza richiesto:
[math] I = [ 80 - \frac{4}{\sqrt{100}} \cdot 1,65 ; 80 + \frac{4}{\sqrt{100}} \cdot 1,65 ] = [ 80 - \frac{4}{10} \cdot 1,65 ; 80 + \frac{4}{10} \cdot 1,65 ] = [/math]
[math] [ 80 - 0,66 ; 80 + 0,66 ] = [79,34 ; 80,66][/math]
2) Considerando che la variabile
[math]X_1[/math]
è normale standard, possiamo sfruttare l'approssimazione normale per calcolare la probabilità richiesta:
[math] P( X_1 \lt 3) [/math]
possiamo procedere nel modo seguente:
[math] P( X_1 \lt 3) = P\left( \frac{X_1 - E[X_1]}{\sigma} \lt \frac{3 - E[X_1]}{\sigma} \right) [/math]
Se indichiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard abbiamo:
[math] P( X_1 \lt 3) = P( W \lt \frac{3 - E[X_1]}{\sigma} ) [/math]
Dai dati del problema sappiamo che:
[math] E[X_1] = \mu = 2 [/math]
[math] \sigma = 4 [/math]
Quindi possiamo procedere sostituendo i valori numerici:
[math] P( X_1 \lt 3) = P( W \lt \frac{3 - 2}{4} ) = P( W \lt \frac{1}{4} ) = P( W \lt 0,25 ) [/math]
Introduciamo la funzione
[math] \Phi [/math]
, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:
[math] P( W \lt 0,25 ) = \Phi(0,25) [/math]
Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici di
[math] \Phi [/math]
:
[math] \Phi(0,25) = 0,59871 [/math]
