Possiamo rappresentare la distribuzione del peso dei salmoni con una variabile aleatoria X che si comporta come una Normale di parametri
[math] \mu [/math]
(ignota) e
[math]\sigma = 20 g[/math]
. Per trovare la dimensione minima del campione che soddisfa la
proprietà imposta dal problema, dobbiamo risolvere la seguente disuguaglianza:
[math] P(|\bar{X}_n - \mu| \le 5) \ge 0,95 \to P\left(\left|\frac{X_1 + \dots + X_n}{n} - \mu\right| \le 5\right) \ge 0,95 [/math]
Riscrivendo il primo membro otteniamo:
[math] P\left(-5 \le \frac{X_1 + \dots + X_n}{n} - \mu \le 5\right) \ge 0,95 [/math]
[math] P\left(\mu - 5 \le \frac{X_1 + \dots + X_n}{n} \le \mu + 5\right) \ge 0,95 [/math]
[math] P\left(n(\mu - 5) \le X_1 + \dots + X_n \le n(\mu + 5)\right) \ge 0,95 [/math]
Sfruttando i risultati derivanti dal teorema del limite centrale, sappiamo che se alla somma campionaria sottraiamo la media e dividiamo per la deviazione standard, otteniamo una variabile aleatoria approssimabile con una normale standard; in questo modo saremo in grado di risolvere la probabilità.
Chiamiamo con W tale variabile:
[math]P\left(\frac{n(\mu - 5) - n\mu}{\sqrt{n}} \le W \le \frac{n(\mu + 5) - n\mu}{\sqrt{n}}\right) \ge 0,95 [/math]
[math] P\left(\frac{n(\mu - 5) - n\mu}{\sqrt{n}} \le W \le \frac{n(\mu + 5) - n\mu}{\sqrt{n}}\right) \ge 0,95 [/math]
Indichiamo con
[math] \Phi [/math]
la funzione di distribuzione della normale standard; si ha:
[math] P\left(\frac{n(\mu - 5) - n\mu}{\sqrt{n}} \le W \le \frac{n(\mu + 5) - n\mu}{\sqrt{n}}\right) = [/math]
[math] P\left(W \le \frac{n(\mu + 5) - n\mu}{\sqrt{n}}\right) - P\left(W \le \frac{n(\mu - 5) - n\mu}{\sqrt{n}}\right) = [/math]
[math] \Phi\left(\frac{n(\mu + 5) - n\mu}{\sqrt{n}}\right) - \Phi\left(\frac{n(\mu - 5) - n\mu}{\sqrt{n}}\right) [/math]
Cerchiamo di semplificare la scrittura:
[math] \Phi\left(\frac{ n(5 + \mu - \mu) }{\sqrt{n}}\right) - \Phi\left(\frac{ n( - 5 - \mu + \mu) }{\sqrt{n}}\right) = [/math]
[math] \Phi\left(\frac{ 5n }{\sqrt{n}}\right) - \Phi\left(\frac{ - 5n }{\sqrt{n}}\right) = [/math]
[math] \Phi\left(\frac{ 5 \sqrt{n} }{\mu}\right) - \Phi\left(\frac{ - 5 \sqrt{n} }{\mu}\right) [/math]
Applichiamo le proprietà della funzione di distribuzione della normale standard:
[math] \Phi\left(\frac{ 5 \sqrt{n} }{\mu}\right) - \left[1 - \Phi\left(\frac{ 5 \sqrt{n} }{\mu}\right)\right] = 2 \Phi\left(\frac{ 5 \sqrt{n} }{\mu}\right) - 1 [/math]
Poniamo tale quantità maggiore o uguale a 0,95, come richiesto dal problema:
[math] 2 \Phi\left(\frac{ 5 \sqrt{n} }{\mu}\right) - 1 \ge 0,95 \to \Phi\left(\frac{ 5 \sqrt{n} }{\mu}\right) \ge \frac{1 + 0,95}{2} = 0,975 [/math]
Dalle tavole della distribuzione, si trova che il quantile di ordine 0,975 della normale standard vale 1,96; poiché la funzione
[math] \Phi [/math]
è crescente, per determinare il valore di n minimo a soddisfare la condizione basta risolvere la seguente disuguaglianza:
[math] \frac{ 5 \sqrt{n} }{\mu} \ge 1,96 [/math]
Risolvendo otteniamo:
[math] \sqrt{n} \ge 1,96 \cdot \frac{\sigma}{5} = 1,96 \cdot \frac{20}{5} = 7,84 \to n \ge 61,46 [/math]
Quindi concludiamo che
[math] n \ge 62 [/math]
.
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