i) Sappiamo che le variabili aleatorie
[math]X_k[/math]
sono Bernoulliane di parametri
[math]p = 1/2[/math]
. Possiamo calcolare la loro media e la loro varianza applicando le formule note:
[math] E[X_k] = p = \frac 1 2[/math]
[math] Var(X_k) = p(1-p) = \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 = \frac 1 4[/math]
Ricordiamo che se
[math]S_n = X_1 + \dots + X_n[/math]
la somma campionaria, allora la quantità
[math]\frac {S_n - E[S_n]} { ? \sqrt{n}} [/math]
si comporta come una normale standard per n grande.
Sapendo che n = 900, possiamo procedere come segue:
[math]P(\bar X_n ? 0,51) = P( \frac 1 n \cdot S_n ? 0,51) = P( S_n ? 0,51 n) = P( \frac{S_n - n ?}{ ? \sqrt{n}} ) ? \frac{0,51 n - n ?}{ ? \sqrt{n}} = [/math]
Indichiamo con W la variabile aleatoria che si comporta come la normale standard, e sostituiamo i valori numerici:
[math] P( W ? \frac {0,51 \cdot 900 - 900 \cdot \frac 1 2 }{ \frac 1 2 \sqrt{900}} ) = P( W ? \frac {459 - 450}{15} ) = [/math]
[math] P( W ? \frac {9} {15} ) = P( W ? 0,6 ) [/math]
Indicando con ? la funzione della distribuzione Normale Standard; abbiamo che:
[math]P( W ? 0,6 ) = 1 - ?(0,6) = 1 - 0,7257 = 0,2743 [/math]
ii) Procediamo in maniera simile a quanto fatto precedentemente:
[math]P( |\bar X_n - \frac {1} {2}| ? 0,01) = P( | \frac {1}{n} S_n - \frac {1} {2}| ? 0,01) = P( | S_n - \frac {1} {2} n| ? 0,01 n) = [/math]
[math] P( | S_n - \frac {1} {2} \cdot 900| ? 0,01 \cdot 900) = P( | S_n - 450| ? 9) [/math]
Dallapprossimazione normale abbiamo che.
[math] P( | S_n - 450| ? 9) = P( \frac{| S_n - 450|}{15} ? \frac {9} {15}) ) = P( |W| ? \frac {9} {15}) ) [/math]
Introducendo la funzione ? possiamo scrivere:
[math] P( |W| ? \frac {9} {15}) ) = P( \frac {-9} {15} ? W ? \frac {9} {15}) = P(W ? \frac {9} {15}) - P(W ? - \frac {9} {15}) = [/math]
[math] ?(\frac {9} {15}) - ?(- \frac {9} {15}) = 2 ?( \frac {9} {15}) - 1[/math]
Dalle tavole della normale standard si ricava:
[math] 2 ?( \frac {9} {15}) - 1 = 2 \cdot 0,6 - 1 = 2 \cdot 0,7257 - 1 = 0,4514 [/math]
iii) Per rispondere al terzo quesito consideriamo sempre lapprossimazione normale:
[math]P( |\bar X_n - \frac {1} {2}| ? 0,01) = P( | \frac {1}{n} S_n - \frac {1} {2}| ? 0,01) = P( | S_n - \frac {1} {2} n| ? 0,01 n) = [/math]
[math] P( \frac {| S_n - \frac {1} {2} n|}{ ? \sqrt{n} } ? \frac{0,01 n}{ ? \sqrt{n} } ) = [/math]
[math] P( W ? \frac {0,01 n}{ ? \sqrt{n} } ) = P( W ? \frac{0,01 \sqrt{n}}{?} ) [/math]
Conoscendo il valore di ? abbiamo:
[math] P( W ? \frac{0,01 \sqrt{n}}{?} ) = P( W ? 0,02 \sqrt{n} ) [/math]
Dai calcoli precedentemente effettuati sappiamo che tale probabilità vale:
[math]2 ?( 0,02 \sqrt{n} ) - 1 [/math]
Quindi, anche la probabilità sia maggiore di 0,95 dobbiamo porre:
[math]2 ?( 0,02 \sqrt{n} ) - 1 > 0,95 [/math]
Da cui:
[math] ?( 0,02 \sqrt{n} ) > \frac {0,95+1 }{ 2 } = 0,975 [/math]
Dalla tavola della normale standard abbiamo che 0,975 = ?(1,96); quindi deve essere:
[math] ?( 0,02 \sqrt{n} ) > 0,975 \to ?( 0,02 \sqrt{n} ) > ?(1,96) \to 0,02 \sqrt{n} > 1,96[/math]
Risolvendo la disequazione si trova:
[math] n > ( \frac {1,96} {0,02} )^2 = 9604 [/math]
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