Determina i valori reali del parametro per i quali nell'equazione di incognita
[math]x[/math]
risultano verificate le condizioni indicate L'equazione
[math](2k-1)x^2-x(2k+1)+k+1=0[/math]
a)sia un'equazione di secondo grado;
b)abbia soluzioni reali, distinte o coincidenti; c)abbia soluzioni reali inverse rispetto all'addizione; d)abbia soluzioni reali inverse rispetto alla moltiplicazione.Svolgimento a)Deve risultare
[math]a!=0[/math]
. Nella nostra equazione deve quindi risultare [math]2k-1!=0[/math]
. Troviamo i valori di [math]k[/math]
che soddisfano le nostre condizioni: [math]2k-1!=0 >=> k!=1/2[/math]
. b)Deve risultare
[math]\Delta>=0[/math]
. [math]\Delta=b^2-4ac=(2k+1)^2-(4 \cdot (2k-1) \cdot (k+1))=4k^2+1+4k-4(2k^2+2k-k-1)=4k^2+1+4k-8k^2-4k+4=-4k^2+5[/math]
Quindi [math]\Delta>=0 >=> -4k^2+5>=0 >=> -4k^2>=-5 >=> 4k^2>=5 >=> -(\sqrt5)/2>=k>={\sqrt5}/2[/math]
. c)Deve risultare
[math]x_1+x_2=1[/math]
ovvero [math]-B/A=1[/math]
. Nel nostro caso [math]B=-(2k+1) ^^ A=2k-1[/math]
. Pertanto dobbiamo trovare i valori di [math]k[/math]
, per cui sia verificata l'equazione [math]-B/A=(2k+1)/(2k-1)=1[/math]
Risolviamo l'equazione [math](2k+1)/(2k-1)=1[/math]
; [math](2k+1)/(2k-1)-1=0[/math]
; il m.c.m. è [math]2k-1[/math]
[math](2k+1-2k+1)/(2k-1)=0[/math]
; [math]2/(2k-1)=0[/math]
. Non esistono quindi valori di [math]k[/math]
per cui [math]x_1+x_2=1[/math]
. d)Deve risultare
[math]x_1x_2=1[/math]
, ovvero [math]C/A=1[/math]
Nel nostro caso [math]C=(k+1) ^^ A=2k-1[/math]
. Pertanto dobbiamo trovare i valori di [math]k[/math]
, per cui sia verificata l'equazione [math]C/A=(k+1)/(2k-1)=1[/math]
Risolviamo l'equazione [math](k+1)/(2k-1)=1[/math]
; [math](k+1)/(2k-1)-1=0[/math]
; il m.c.m. è [math]2k-1[/math]
[math](k+1-2k+1)/(2k-1)=0[/math]
; [math]2-k/(2k-1)=0[/math]
. L'equazione sarà verificata se e solo se [math]2-k=0[/math]
, cioè solo se [math]k=2[/math]
.
