Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano

Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano
verificate le condizioni indicate

L’equazione $(2k-1)x^2-x(2k+1)+k+1=0$

a)sia un’equazione di secondo grado;
b)abbia soluzioni reali, distinte o coincidenti;
c)abbia soluzioni reali inverse rispetto all’addizione;
d)abbia soluzioni reali inverse rispetto alla moltiplicazione.


Svolgimento
a)Deve risultare $a!=0$.
Nella nostra equazione deve quindi risultare $2k-1!=0$.
Troviamo i valori di $k$ che soddisfano le nostre condizioni:
$2k-1!=0 <=> k!=1/2$.

b)Deve risultare $\Delta>=0$.
$\Delta=b^2-4ac=(2k+1)^2-(4*(2k-1)*(k+1))=4k^2+1+4k-4(2k^2+2k-k-1)=4k^2+1+4k-8k^2-4k+4=-4k^2+5$
Quindi
$\Delta>=0 <=> -4k^2+5>=0 <=> -4k^2>=-5 <=>  4k^2<=5 <=> -(sqrt5)/2<=k<=(sqrt5)/2$.

c)Deve risultare $x_1+x_2=1$ ovvero $-B/A=1$.
Nel nostro caso $B=-(2k+1) ^^ A=2k-1$.
Pertanto dobbiamo trovare i valori di $k$, per cui sia verificata l’equazione
$-B/A=(2k+1)/(2k-1)=1$
Risolviamo l’equazione
$(2k+1)/(2k-1)=1$;
$(2k+1)/(2k-1)-1=0$;
il m.c.m. è $2k-1$
$(2k+1-2k+1)/(2k-1)=0$;
$2/(2k-1)=0$.
Non esistono quindi valori di $k$ per cui $x_1+x_2=1$.

d)Deve risultare $x_1x_2=1$, ovvero $C/A=1$
Nel nostro caso $C=(k+1) ^^ A=2k-1$.
Pertanto dobbiamo trovare i valori di $k$, per cui sia verificata l’equazione
$C/A=(k+1)/(2k-1)=1$
Risolviamo l’equazione
$(k+1)/(2k-1)=1$;
$(k+1)/(2k-1)-1=0$;
il m.c.m. è $2k-1$
$(k+1-2k+1)/(2k-1)=0$;
$2-k/(2k-1)=0$.
L’equazione sarà verificata se e solo se $2-k=0$, cioè solo se $k=2$.

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