Determina la lunghezza dei cateti di un triangolo rettangolo sapendo

Determina la lunghezza dei cateti di un triangolo rettangolo sapendo
che la somma delle loro lunghezzeè $21cm$ e che l’ipotenusa misura $15cm$.


trian_rettangolo1.jpg

Svolgimento
Indichiamo con $x$ e $y$ i due cateti e con $z$ l’ipotenusa, i dati sono:
$x+y=21cm ^^ z=15cm$
Per il teorema di Pitagora sappiamo che
$z=sqrt(x^2+y^2) => sqrt(x^2+y^2)=15cm$.
Mettiamo a sistema le due equazioni e procediamo nella risoluzione

${(sqrt(x^2+y^2)=15),(x+y=21):}$;
${(sqrt(x^2+y^2)=15),(x=21-y):}$;
Eleviamo al quadrato ambo i membri della prima equazione e procediamo per sostituzione
${(x^2+y^2=225),(x=21-y):}$;
${((21-y)^2+y^2=225),(x=21-y):}$;
${(441-42y+y^2+y^2=225),(x=21-y):}$;
Semplificando
${(2y^2-42y+216=0),(x=21-y):}$;
Dividendo la prima equazione per $2$ si ha:
${(y^2-21y+108=0),(x=21-y):}$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$y^2-21y+108=0$

$Delta=b^2-4ac=(-21)^2-(4*(108)*1)=441-432=9$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(21+-sqrt(9))/2=(21+-3)/2 => y_1=9 ^^ y_2=12$.

Pertanto
${(y_1=9),(x_1=21-y_1):} => ${(y_1=9),(x_1=12):}$ ;
${(y_2=12),(x_2=21-y_2):} => ${(y_2=12),(x_2=9):}$.
Quindi se scegliamo come cateto minore $x$ e come cateto maggiore $y$, questi
misurano rispettivamente $9cm$ e $12cm$; altrimenti viceversa.

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