Nel quadrato $ABCD$ di lato $l$, prolunghiamo i lati $bar{AB}$ dalla parte di $B$ e $bar{AD}$ dall

Nel quadrato $ABCD$ di lato $l$, prolunghiamo i lati $ar{AB}$ dalla parte di $B$ e $ar{AD}$ dalla parte
di $D$ rispettivamente dei segmenti $ar{BP=2x}$ e $ar{DQ}=3x$. Determina $x$ in modo tale che sia:
$2BD^2-2CQ^2=PQ^2-4CP^2$


quadrato.jpg 

Dati
$ar{BP=2x}$
$ar{DQ}=3x$

Svolgimento
$BD^2=2l^2$
$CQ^2=l^2+9x^2$
$CP^2=l^2+4x^2$
$PQ^2=(l+2x)^2+(l+3x)^2=l^2+4x^2+4lx+l^2+9x^2+6x^2=2l^2+10lx+13x^2$

Quindi l’equazione $2BD^2-2CQ^2=PQ^2-4CP^2$, la possiamo riscrivere nel seguente modo:
$2(2l^2)-2(l^2+9x^2)=2l^2+10lx+13x^2-4(l^2+4x^2)$.
Risolviamo ora l’equazione
$2(2l^2)-2(l^2+9x^2)=2l^2+10lx+13x^2-4(l^2+4x^2)$;
$4l^2-2l^2-18x^2=2l^2+10xl+13x^2-4l^2-16x^2$;
Raccogliamo i termini simili
$(-18-13+16)x^2-10lx+(4-2-2+4)l^2=0$
$-15x^2-10lx+4l^2=0$, cioè
$15x^2+10lx-4l^2=0$

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(5l)^2-(15*(-4l^2))=25l^2+60l^2=85l^2$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(-5l+-sqrt(85l^2))/(15)=(-5l+-lsqrt(85))/(15) => x_1=(l(+lsqrt(85)-5))/(15) ^^ x_2=(l(-5-lsqrt(85))/(15)$.

La soluzione $x_2=(l(-5-lsqrt(85))/(15)$ non è accettabile perchè negativa.
Pertanto la soluzione del problema sarà: $x=(l(+lsqrt(85)-5))/(15)$.

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