[math]\bar{BD}[/math]
sono inscritti i triangoli [math]ABD[/math]
e [math]BDC[/math]
con [math]A[/math]
e [math]C[/math]
da parti opposte rispetto a [math]\bar{BD}[/math]
. Sia [math]H[/math]
la proiezione di [math]C[/math]
su [math]\bar{BD}[/math]
. Sapendo che [math]\bar{AB} = 16 cm[/math]
e che il rapporto sia tra [math]\bar{AD}[/math]
e [math]\bar{BD}[/math]
sia tra [math]\bar{BH}[/math]
e [math]\bar{HD}[/math]
è [math]\frac{3}{5}[/math]
trovare il perimetro di [math]ABCD[/math]
.
Risoluzione
Abbiamo che:
[math]\bar{AB} = 16 cm [/math]
[math]\frac{\bar{AD}}{\bar{BD}} = \frac{\bar{BH}}{\bar{HD}} = \frac{3}{5}[/math]
Consideriamo il triangolo
[math]ABD[/math]
.Chiamiamo il diametro
[math] \bar{BD} = x [/math]
e troviamo il valore del cateto [math] \bar{AD}[/math]
in funzione di [math]x[/math]
, sapendo che il triangolo [math] ABD[/math]
è rettangolo, poiché inscritto in una semicirconferenza.
[math] \bar{AD} = \sqrt{\bar{BD} ^2 - \bar{AB} ^2} = \sqrt(x^2 - 16^2)[/math]
Sapendo ora che
[math] \frac{\bar{AD}}{\bar{BD}} = \frac{3}{5}[/math]
, sostituiamo a questa scrittura i valori trovati:
[math] \frac{\sqrt{x^2 - 16^2}}{x} = \frac{3}{5}[/math]
Posto
[math] x ? 0 [/math]
, risolviamo l'equazione e troviamo il valore di [math]x[/math]
:
[math] (\frac{\sqrt{x^2 - 16^2}}{x})^2 = (\frac{3}{5})^2[/math]
[math] \frac{x^2 - 16^2}{x^2} = \frac{9}{25}[/math]
[math] \frac{x^2 - 16^2}{x^2} - \frac{9}{25} = 0[/math]
[math] \frac{25 (x^2 - 256) - 9x^2}{25 x^2} = 0[/math]
[math] \frac{25x^2 - 6400 - 9x^2}{25 x^2} = 0[/math]
[math] \frac{16x^2 - 6400}{25 x^2} = 0[/math]
[math] 16x^2 - 6400 = 0[/math]
[math] 16x^2 = 6400[/math]
[math] x^2 = \frac{6400}{16} = 400 \to x = \pm 20 [/math]
Non potendo accettare il valore negativo, poiché
[math]x[/math]
è un segmento, accettiamo solo la soluzione positiva, [math]x=20cm[/math]
.Sappiamo quindi che:
[math] \bar{BD} = 20 cm[/math]
[math] \bar{AD} = \sqrt{x^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 cm [/math]
Passiamo ora al triangolo
[math]BCD[/math]
.Sappiamo che :
[math] \frac{\bar{BH}}{\bar{HD}} = \frac{3}{5} \to \bar{BH} = \frac{3}{5} \bar{HD} [/math]
Poiché
[math] \bar{BH} + \bar{HD} = \bar{BD} = 20 cm [/math]
, possiamo scrivere che:
[math] \bar{HD} + \frac{3}{5} \bar{HD} = 20 cm [/math]
Risolviamo l'equazione e troviamo il valore del segmento
[math]\bar{HD} [/math]
:
[math] \frac{5 \bar{HD} + 3 \bar{HD}}{5} = \frac{100}{5} [/math]
[math] 5 \bar{HD} + 3 \bar{HD}= 100[/math]
[math] 8 \bar{HD} = 100 \to \bar{HD} = \frac{100}{8} = \frac{25}{2} [/math]
Quindi:
[math] \bar{BH} = \frac{3}{5} \bar{HD} = \frac{3}{5} \cdot \frac{25}{2} = \frac{15}{2} [/math]
Sapendo che anche il triangolo
[math]BCD[/math]
è rettangolo, perché inscritto anch'esso in una semicirconferenza, applichiamo il primo teorema di Euclide:
[math]\bar{BH} : \bar{BC} = \bar{BC} : \bar{BD} [/math]
[math] \bar{BC} ^2 = \bar{BH} \cdot \bar{BD} = \frac{15}{2} \cdot 20 = 150 \to [/math]
[math] \bar{BC} = \sqrt{150} = 5\sqrt6 cm [/math]
Con il teorema di Pitagora possiamo trovare il cateto
[math]\bar{CD}[/math]
:
[math]\bar{CD} = \sqrt{\bar{BD}^2 - \bar{BC}^2} = \sqrt(20^2 - (5\sqrt6)^2) =[/math]
[math] \sqrt{400 - 150} = \sqrt{250} = 5 \sqrt{10} cm [/math]
Determiniamo il perimetro di
[math]ABCD[/math]
:
[math] P_(ABCD) = \bar{AB} + \bar{BC} + \bar{CD} + \bar{DA} = [/math]
[math] (16 + 5\sqrt6 + 5 \sqrt{10} + 12) = (28 + 5\sqrt6 + 5 \sqrt{10} + 12) cm [/math]
