In quest'appunto si troverà un riassunto completo sui metodi di risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado, arricchito dallo svolgimento commentato di un esercizio basato sulla geometria.
Cosa sono le equazioni e a cosa servono
In
matematica, il concetto di
uguaglianza è molto importante. Si definisce
uguaglianza una quantità formata da due termini legati insieme dal simbolo
uguale [math]=[/math]
. Tale quantità può contenere delle
espressioni (qualora siano presenti solo numeri e operazioni) oppure delle
equazioni.
La principale differenza tra un'equazione e un'espressione risiede nel ruolo dell'incognita, solitamente indicata con la lettera
[math]x[/math]
.
Il fine ultimo di un'
equazione è, infatti, quello di scoprirne il valore. Per questo motivo, la
soluzione (o radice) di un'equazione presenta la forma
[math]x=n[/math]
.
I valori assumibili da
[math]n[/math]
sono indicati dal
dominio, chiamato anche
insieme di definizione. L'estensione del dominio dipende dal tipo di funzioni presenti all'interno dell'equazione. Le funzioni
polinomiali sono definite in
[math]R[/math]
, ciò significa che la soluzione di un'
incognita può assumere qualsiasi valore
reale.
Le funzioni razionali, invece, devono necessariamente avere il denominatore diverso da zero: per questo motivo, qualora al denominatore della funzione sia presente l'incognita, il valore di quest'ultima dev'essere tale per cui il denominatore non debba annullarsi.
Se, infine, all'interno dell'equazione è presente una radice a indice pari cui argomento presenta un'incognita, tale argomento deve essere imposto maggiore o uguale a zero. Ciò accade perché una radice a indice pari con argomento negativo rappresenta un numero immaginario (o complesso).
Come svolgere correttamente le equazioni di primo e secondo grado
Le equazioni possono distinguersi a seconda del proprio
grado. Il
grado di un'equazione è il massimo esponente con cui si presenta un'incognita al suo interno. Se è presente più di un'incognita, è possibile definire un grado per ciascuna.
Un'
equazione di primo grado è scrivibile nella forma
[math]ax+c=0[/math]
. In questo caso, per svolgere l'equazione basta applicare i
due principi di equivalenza.
I principi di equivalenza sono delle regole atte a isolare l'incognita in uno dei due membri. Questo, infatti, è uno step fondamentale per la risoluzione delle equazioni di primo grado. In particolare:
- il primo principio di equivalenza afferma che sottraendo o addizionando a entrambi i membri di un'equazione la stessa quantità si ottiene una struttura equivalente
- il secondo principio di equivalenza afferma che moltiplicando e dividendo entrambi i membri per una stessa quantità, si ottiene una struttura equivalente
Nel caso dell'equazione di primo grado
[math]ax+c=0[/math]
, la
[math]x[/math]
può essere isolata sottraendo a entrambi i membri il valore di
[math]c[/math]
e dividendo entrambi per
[math]a[/math]
.
La situazione si complica nel caso di equazioni di secondo grado, esprimibili nella formula
[math]ax^2+bx+c=0[/math]
. In questo caso, la presenza del termine
[math]ax[/math]
impedisce la semplice applicazione dei
principi di equivalenza. Bisogna, quindi, applicare una strategia risolutiva differente.
Il primo passaggio per affrontare un'equazione di secondo grado è il calcolo del discriminante
[math]\Delta[/math]
attraverso la formula
[math]b^2-4ac[/math]
. Esso consente di conoscere a priori se le soluzioni dell'equazione siano
reali e distinte [math]\Delta>0[/math]
,
uguali e coincidenti [math]\Delta=0[/math]
o
complesse coniugate [math]\Delta .
Dopo aver calcolato il discriminante è necessario calcolare il valore delle radici. La formula da utilizzare è la seguente:
[math]x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta^2}}{2a}[/math]
. Anche in questo caso, il valore delle radici può essere influenzato dalla presenza del dominio.
Esercizio commentato: calcola il perimetro e l'area del trapezio isoscele sfruttando le equazioni
Nel trapezio isoscele
[math]ABCD[/math]
,
[math](AB)[/math]
è la base maggiore e
[math]H[/math]
è il piede della perpendicolare
condotta dal vertice
[math]D[/math]
alla base
[math]{AB}[/math]
. Sapendo che
[math](CD)=\frac{3}{4}(DH)[/math]
,
[math](AB)=\frac{6}{5}(DH)[/math]
e che risulta
[math]\frac{(\frac{(DH))}{5}+((AB)+(DC))}{6}=21cm[/math]
,
determinare
[math](DH)[/math]
, l'area e il perimetro del trapezio.
Dati del problema
[math](DC)=\frac{3}{4}(DH)[/math]
[math](AB)=\frac{6}{5}(DH)[/math]
[math]\frac{(\frac{(DH))}{5}+((AB)+(DC))}{6}=21cm[/math]
Svolgimento
Poniamo
[math](DH)=x[/math]
e quindi si avrà che
[math](DC)=\frac{3}{4}x[/math]
,
[math](AB)=\frac{6}{5}x[/math]
e infine per sostituzione
[math]\frac{x}{5}+\frac{(\frac{6}{5}x+\frac{3}{4}x)}{6}=21[/math]
.
Risolviamo quindi l'equazione di primo grado
[math]\frac{x}{5}+\frac{(\frac{6}{5}x+\frac{3}{4}x)}{6}=21[/math]
;
[math]\frac{x}{5}+\frac{(\frac{24x+15x)}{(20)})}{6}=21[/math]
;
[math]\frac{x}{5}+(\frac{39}{(20)}\frac{1}{6}x=21[/math]
;
[math]\frac{x}{5}+\frac{(13)}{(40)}x=21[/math]
;
[math]\frac{(8x+13x)}{(40)}=\frac{(840)}{(40)}[/math]
;
[math]8x+13x=840[/math]
;
[math]21x=840 \rightarrow x=\frac{(840)}{(21)}=40[/math]
.
In conclusione
[math](DH)=40cm[/math]
, da qui
[math](DC)=\frac{3}{4}(40)cm=30cm[/math]
e
[math](AB)=\frac{6}{5}(40)cm=48cm[/math]
.
Il trapezio è isoscele, per cui:
[math](AH)=\frac{((AB)-(DC))}{2}=\frac{(48-30)}{2}cm=\frac{(18)}{2}cm=9cm[/math]
.
Per il Teorema di Pitagora si ha:
[math](AD)=\sqrt{((DH))^2+((AH))^2}=\sqrt((40cm)^2+(9cm)^2)=\sqrt(1600+81)cm=[/math]
[math]=\sqrt{1681}cm=41cm[/math]
.
Il perimetro è dato dalla somma di tutti i lati del trapezio, cioè
[math]2p=(AD)+(CB)+(AB)+(DC)=(41+41+48+30)cm=160cm[/math]
.
L'area del trapezio si calcola mediante la seguente formula
[math]A=(B+b)/2h=(48+30)/240cm=1560cm^2[/math]
.
Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di primo e di secondo grado vedi anche qui
