In un triangolo isoscele la base supera di $2 cm$ l’altezza, mentre ciascuno dei due lati congruenti supera di $2 cm$ la base. Trova il perimetro e l’area del triangolo.
In un triangolo isoscele la base supera di $2 cm$ l’altezza, mentre ciascuno dei due lati congruenti supera di $2 cm$ la base. Trova il perimetro e l’area del triangolo.
Svolgimento
Chiamiamo con le incognite $x$ ed $y$ l’altezza del triangolo e metà base:
$AH = x $
$HB = y$
Sappiamo che:
$AB = HC + 2 cm$
$AC = BC = AB + 2 cm$
Troviamo la misura dei lati congruenti in funzione delle incognite:
$ AC = BC = sqrt(CH^2 + HB^2) = sqrt(x^2 + y^2) $
Possiamo ora impostare un sistema:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
2y = x + 2 &\\
\sqrt{x^2 + y^2} = 2y + 2 &
\end{array}\right.
$$
Ricaviamo un’incognita dalla prima equazione e risolviamo il sistema per sostituzione:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = \frac{x + 2}{2} &\\
\sqrt{x^2 + y^2} = 2y + 2 &
\end{array}\right.
$$
Lavoriamo sulla seconda equazione:
$sqrt(x^2 + (frac(x + 2)(2))^2) = 2 * frac(x + 2)(2) + 2 $
$sqrt(x^2 + frac(x^2 + 4 + 4x)(4)) = x + 2 + 2 $
$sqrt(frac(4 x^2 + x^2 + 4 + 4x)(4)) = x + 4 $
$sqrt(frac(5 x^2 + 4 + 4x)(4)) = x + 4 $
Sapendo che $x$ deve essere positivo, perché è la misura di un lato, non è necessario porre le condizioni di esistenza.
$(sqrt(frac(5 x^2 + 4 + 4x)(4)) )^2 = (x + 4)^2 $
$frac(5 x^2 + 4 + 4x)(4) = x^2 + 16 + 8x $
$ 5 x^2 + 4 + 4x = 4x^2 + 64 + 32x $
$ 5 x^2 + 4 + 4x – 4x^2 – 64 – 32x = 0 $
$ x^2 – 28x – 60 = 0 $
Risolviamo con la formula ridotta $ x = frac(-b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $
$ x = frac(-(-28)/2 ± sqrt(((-28)/2)^2 – (-60)))(1) = 14 ± sqrt(196 + 60) = $
$ 14 ± sqrt(256) = 14 ± 16 $
Accettiamo solo la radice positiva, quindi $x=30$ .
Ricaviamo il corrispondente valore di y:
$ y = frac(30 + 2)(2) = 16 $
Determiniamo l’area del triangolo:
$ A = frac(AB * CH)(2) = frac(32 * 30)(2) = 480 cm^2 $
Troviamo la lunghezza del lato obliquo:
$AC = BC = sqrt(CH^2 + HB^2) = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(30^2 + 16^2 ) = $
$ sqrt(900 + 256) = sqrt(1156) = 34 cm $
Possiamo quindi calcolare il perimetro del triangolo:
$ P = AB + 2 BC = 32 + 2*34 = 100 cm $