In un triangolo isoscele la base supera di   $2 cm$  l’altezza, mentre ciascuno dei due lati congruenti supera di  $2 cm$  la base. Trova il perimetro e l’area del triangolo.

In un triangolo isoscele la base supera di   $2 cm$  l’altezza, mentre ciascuno dei due lati congruenti supera di  $2 cm$  la base. Trova il perimetro e l’area del triangolo.

 

triangolo_isoscele

 

 

Svolgimento

Chiamiamo con le incognite  $x$  ed  $y$  l’altezza del triangolo e metà base:

$AH = x $

$HB = y$

Sappiamo che:

$AB = HC + 2 cm$

$AC = BC = AB + 2 cm$

Troviamo la misura dei lati congruenti in funzione delle incognite:

$ AC = BC = sqrt(CH^2 + HB^2) = sqrt(x^2 + y^2) $

Possiamo ora impostare un sistema:

 

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
2y = x + 2 &\\
\sqrt{x^2 + y^2} = 2y + 2 &
\end{array}\right.
$$

Ricaviamo un’incognita dalla prima equazione e risolviamo il sistema per sostituzione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = \frac{x + 2}{2} &\\
\sqrt{x^2 + y^2} = 2y + 2 &
\end{array}\right.
$$

Lavoriamo sulla seconda equazione:

$sqrt(x^2 + (frac(x + 2)(2))^2) = 2 * frac(x + 2)(2) + 2 $

$sqrt(x^2 + frac(x^2 + 4 + 4x)(4)) = x + 2 + 2 $

$sqrt(frac(4 x^2 + x^2 + 4 + 4x)(4)) = x + 4 $

$sqrt(frac(5 x^2 + 4 + 4x)(4)) = x + 4 $

Sapendo che  $x$  deve essere positivo, perché è la misura di un lato, non è necessario porre le condizioni di esistenza.

$(sqrt(frac(5 x^2 + 4 + 4x)(4)) )^2 = (x + 4)^2 $

$frac(5 x^2 + 4 + 4x)(4) = x^2 + 16 + 8x $

$ 5 x^2 + 4 + 4x = 4x^2 + 64 + 32x $

$ 5 x^2 + 4 + 4x – 4x^2 – 64 – 32x = 0 $

$ x^2 – 28x – 60 = 0 $

Risolviamo con la formula ridotta   $ x = frac(-b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $

$ x = frac(-(-28)/2 ± sqrt(((-28)/2)^2 – (-60)))(1) = 14 ± sqrt(196 + 60) = $

$ 14 ± sqrt(256) = 14 ± 16 $

Accettiamo solo la radice positiva, quindi   $x=30$ .

Ricaviamo il corrispondente valore di y:

$ y = frac(30 + 2)(2) = 16 $

Determiniamo l’area del triangolo:

$ A = frac(AB * CH)(2) = frac(32 * 30)(2) = 480 cm^2 $

Troviamo la lunghezza del lato obliquo:

$AC = BC = sqrt(CH^2 + HB^2) = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(30^2 + 16^2 ) = $

$ sqrt(900 + 256) = sqrt(1156) = 34 cm $

Possiamo quindi calcolare il perimetro del triangolo:

$ P = AB + 2 BC = 32 + 2*34 = 100 cm $

 

 

 

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